FísicaFácil2 pts

Radiactividad y desintegración

Comunidad de Madrid · 2022 · Julio (coincidentes)

Enunciado

El periodo de semidesintegración del isótopo

^{131}\text{I}

es de

8

días. Si poseemos una muestra de

10\ \text{mg}

de dicho isótopo, determine:

a) La vida media del isótopo y su constante de desintegración radiactiva.

b) La masa que queda sin desintegrar y la actividad, expresada en unidades del SI, a los

7

días.

Datos: Número de Avogadro,

N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}

; Masa atómica del

^{131}\text{I}

M_I = 130{,}9\ \text{u}

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Resultado

\boxed{\;\tau = 11{,}5\ \text{días} = 9{,}97\cdot 10^{5}\ \text{s}\qquad \lambda = 1{,}00\cdot 10^{-6}\ \text{s}^{-1}\;}

\boxed{\;m(7\ \text{días}) = 5{,}45\ \text{mg}\qquad A = 2{,}51\cdot 10^{13}\ \text{Bq}\;}

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Estrategia

El periodo de semidesintegración, la constante de desintegración y la vida media están ligados:

\lambda = \ln 2/T_{1/2}

\tau = 1/\lambda = T_{1/2}/\ln 2

. Para la actividad en el SI (becquerelios) hace falta

\lambda

\text{s}^{-1}

.

La masa que queda sigue la ley de desintegración,

m = m_0\,e^{-\lambda t}

. La actividad es

A = \lambda N

, con

N

el número de núcleos que quedan, que sale de la masa con la masa molar y el número de Avogadro.

Desarrollo

a) Periodo en segundos:

T_{1/2} = 8\cdot 86\,400 = 6{,}912\cdot 10^{5}\ \text{s}

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{6{,}912\cdot 10^{5}} = 1{,}00\cdot 10^{-6}\ \text{s}^{-1}\ \ (0{,}0866\ \text{días}^{-1})

\tau = \frac{1}{\lambda} = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} = 11{,}5\ \text{días} = 9{,}97\cdot 10^{5}\ \text{s}

b) Masa sin desintegrar a los

7

días (

\lambda t = 0{,}0866\cdot 7 = 0{,}606

m = m_0\,e^{-\lambda t} = 10\cdot e^{-0{,}606} = 5{,}45\ \text{mg}

Es algo más de la mitad, como debe ser: aún no ha pasado un periodo completo.

Núcleos que quedan:

N = \frac{m}{M}\,N_A = \frac{5{,}45\cdot 10^{-3}}{130{,}9}\cdot 6{,}02\cdot 10^{23} = 2{,}51\cdot 10^{19}\ \text{núcleos}

Actividad:

A = \lambda N = 1{,}00\cdot 10^{-6}\cdot 2{,}51\cdot 10^{19} = 2{,}51\cdot 10^{13}\ \text{Bq}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No redondees $\lambda$ antes de meterla en la exponencial: con $\lambda = 0{,}09\ \text{días}^{-1}$ en lugar de $0{,}0866$ la masa sale $5{,}33\ \text{mg}$ y no $5{,}45$ . También puedes evitarla: $m = m_0\,(1/2)^{t/T_{1/2}} = 10\cdot 2^{-7/8}$ .

La actividad en el SI exige $\lambda$ en $\text{s}^{-1}$ ; con días saldrían desintegraciones por día.