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Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2022 · Julio (coincidentes)

Enunciado

La organización de un espectáculo sonoro ha decidido colocar los altavoces formando un círculo alrededor del público y a una distancia de

50\ \text{m}

del centro de la plaza. La potencia de cada uno de los altavoces a máximo volumen es de

30\ \text{W}

.

a) Calcule el número máximo de altavoces que pueden ponerse, si por motivos de seguridad el nivel de intensidad sonora en el punto central no puede superar los

100\ \text{dB}

.

b) Si a mitad del espectáculo la potencia de los altavoces se reduce a la mitad, obtenga la distancia que habrá que acercar los altavoces al centro de la plaza para que el nivel de intensidad sonora sea el máximo permitido.

Dato: Valor umbral de la intensidad acústica,

I_0 = 10^{-12}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;n_{\text{máx}} = 10\ \text{altavoces}\;}

\boxed{\;r = 34{,}5\ \text{m}:\ \text{hay que acercarlos } 15{,}5\ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada altavoz emite ondas esféricas: a una distancia

r

su intensidad es

I = P/(4\pi r^2)

. En el centro llegan los sonidos de todos y, como son fuentes independientes, se suman las intensidades (no los decibelios). Todos están a la misma distancia, así que con

n

altavoces la intensidad total es

n

veces la de uno.

El límite de

100\ \text{dB}

se traduce en una intensidad máxima con

\beta = 10\log(I/I_0)

. En b), con el número de altavoces de a) y la mitad de potencia, buscamos el radio que vuelve a dar esa intensidad máxima.

Desarrollo

a) Intensidad que produce un altavoz en el centro, a

50\ \text{m}

I_1 = \frac{P}{4\pi r^2} = \frac{30}{4\pi\cdot 50^2} = 9{,}55\cdot 10^{-4}\ \text{W/m}^2

Intensidad máxima permitida en el centro:

100 = 10\log\frac{I_{\text{máx}}}{10^{-12}}\quad\Longrightarrow\quad I_{\text{máx}} = 10^{10}\cdot 10^{-12} = 10^{-2}\ \text{W/m}^2

Con

n

altavoces,

I = n\,I_1 \le I_{\text{máx}}

n \le \frac{I_{\text{máx}}}{I_1} = \frac{10^{-2}}{9{,}55\cdot 10^{-4}} = 10{,}5

El número de altavoces es entero y no se puede pasar del límite: como mucho 10 altavoces. Con ellos el nivel en el centro es

10\log\left(10\cdot 9{,}55\cdot 10^{5}\right) = 99{,}8\ \text{dB}

; con 11 serían

100{,}2\ \text{dB}

.

b) Ahora los 10 altavoces emiten

15\ \text{W}

cada uno, en total

150\ \text{W}

. Para que en el centro haya justo el máximo permitido,

I_{\text{máx}} = 10^{-2}\ \text{W/m}^2

10^{-2} = \frac{10\cdot 15}{4\pi r^2}\quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt{\frac{150}{4\pi\cdot 10^{-2}}} = 34{,}5\ \text{m}

Hay que acercar los altavoces:

\Delta r = 50 - 34{,}5 = 15{,}5\ \text{m}

Consejo

Los decibelios no se suman: diez altavoces de $90\ \text{dB}$ no dan $900\ \text{dB}$ , sino $100\ \text{dB}$ . Pasa siempre a intensidades, súmalas y vuelve a decibelios al final.

Al redondear un número de objetos, piensa qué pide el enunciado: aquí es un máximo de seguridad, así que se redondea hacia abajo aunque $10{,}5$ invitara a poner 11.