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Campo y potencial gravitatorio

Comunidad de Madrid · 2022 · Julio (coincidentes)
Enunciado
Una partícula de masa 2⋅10−3 kg2\cdot 10^{-3}\ \text{kg} se mueve en una trayectoria rectilínea a lo largo del eje xx, sometida exclusivamente a la atracción gravitatoria de una partícula de masa MM situada en la posición (5,0,0) m(5, 0, 0)\ \text{m}. Cuando la partícula de 2⋅10−3 kg2\cdot 10^{-3}\ \text{kg} pasa por el origen de coordenadas, tiene una velocidad de 1⋅10−3 m s−11\cdot 10^{-3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1} y una energía mecánica de 9,9⋅10−10 J9{,}9\cdot 10^{-10}\ \text{J}. Determine:

a) El potencial gravitatorio creado en el origen de coordenadas por la partícula de masa MM.

b) El valor de la masa MM.

Dato: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}.
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Resultado
  V(0,0,0)=−5⋅10−9 J/kg  \boxed{\;V(0, 0, 0) = -5\cdot 10^{-9}\ \text{J/kg}\;}  M=375 kg  \boxed{\;M = 375\ \text{kg}\;}
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Estrategia

La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial. Conocidas la mecánica y la velocidad en el origen, la energía potencial en ese punto es lo que falta: Ep=Em−EcE_p = E_m - E_c. El potencial es la energía potencial por unidad de masa, V=Ep/mV = E_p/m.

En b), el potencial de una masa puntual a distancia dd es V=−GM/dV = -GM/d (con origen en el infinito), y aquí d=5 md = 5\ \text{m}. Se despeja MM.
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Desarrollo

a) Energía cinética de la partícula en el origen:Ec=12mv2=12⋅2⋅10−3⋅(10−3)2=1⋅10−9 JE_c = \frac{1}{2}m v^2 = \frac{1}{2}\cdot 2\cdot 10^{-3}\cdot\left(10^{-3}\right)^2 = 1\cdot 10^{-9}\ \text{J}Energía potencial en el origen:Ep=Em−Ec=9,9⋅10−10−1⋅10−9=−1⋅10−11 JE_p = E_m - E_c = 9{,}9\cdot 10^{-10} - 1\cdot 10^{-9} = -1\cdot 10^{-11}\ \text{J}Potencial gravitatorio creado por MM en el origen:V=Epm=−1⋅10−112⋅10−3=−5⋅10−9 J/kgV = \frac{E_p}{m} = \frac{-1\cdot 10^{-11}}{2\cdot 10^{-3}} = -5\cdot 10^{-9}\ \text{J/kg}Es negativo, como todo potencial gravitatorio con origen en el infinito. La energía mecánica de la partícula (9,9⋅10−10 J9{,}9\cdot 10^{-10}\ \text{J}) es positiva: no está ligada a MM y, si se aleja, puede escapar al infinito.

b) La masa MM está a d=5 md = 5\ \text{m} del origen:V=−GMd⟹M=−V dG=5⋅10−9⋅56,67⋅10−11=375 kgV = -\frac{GM}{d}\quad\Longrightarrow\quad M = -\frac{V\,d}{G} = \frac{5\cdot 10^{-9}\cdot 5}{6{,}67\cdot 10^{-11}} = 375\ \text{kg}Con más precisión, M=374,8 kgM = 374{,}8\ \text{kg}.
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Consejo

Cuidado con la resta 9,9⋅10−10−1⋅10−99{,}9\cdot 10^{-10} - 1\cdot 10^{-9}: son números casi iguales y el resultado es cien veces menor. Escríbelos con el mismo exponente (0,99⋅10−9−1,00⋅10−90{,}99\cdot 10^{-9} - 1{,}00\cdot 10^{-9}) para no equivocarte.

Una energía potencial gravitatoria positiva siempre es un error de signo: compruébalo antes de seguir.
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