FísicaFácil2 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2022 · Julio (coincidentes)

Enunciado

Por una cuerda se propaga una onda sinusoidal en el sentido positivo del eje

x

, descrita por las siguientes gráficas. Deduzca:

a) La expresión matemática que describe la onda.

b) La velocidad de propagación de la onda y la velocidad de vibración del punto de la cuerda situado en

x = 0{,}1\ \text{m}

en el instante

t = 3\ \text{s}

Dos gráficas de la elongación y en metros. Izquierda, y frente a x (m) en t = 0: senoide de amplitud 0,02 m que vale −0,02 m en x = 0, tiene máximos de 0,02 m en x = 0,025; 0,075; 0,125 y 0,175 m y mínimos en x = 0,05; 0,10 y 0,15 m. Derecha, y frente a t (s) en x = 0: vale −0,02 m en t = 0, tiene máximos en t = 0,1; 0,3 y 0,5 s y mínimos en t = 0,2 y 0,4 s

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;y(x,t) = 0{,}02\sin\!\left(10\pi t - 40\pi x - \frac{\pi}{2}\right)\ \text{m}\;}

\boxed{\;v = 0{,}25\ \text{m/s}\qquad v_y(0{,}1\ \text{m},\,3\ \text{s}) = 0\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Cada gráfica da una magnitud: la de

t = 0

es una «foto» de la cuerda y la distancia entre dos máximos es la longitud de onda

\lambda

; la de

x = 0

es la vibración de un punto y el tiempo entre dos máximos es el periodo

T

. La amplitud se lee en cualquiera de las dos.

Con

\omega = 2\pi/T

k = 2\pi/\lambda

, y sabiendo que la onda va hacia

+x

, la fase es

\omega t - kx + \varphi_0

; la fase inicial sale de imponer el valor de

y(0, 0)

que marcan las gráficas. La velocidad de vibración es la derivada de

y

respecto de

t

con

x

fijo.

Desarrollo

a) Lectura de las gráficas:

Amplitud: $A = 0{,}02\ \text{m}$ .
Gráfica de $t = 0$ : hay máximos en $x = 0{,}025$ y $x = 0{,}075\ \text{m}$ , así que $\lambda = 0{,}05\ \text{m}$ .
Gráfica de $x = 0$ : hay máximos en $t = 0{,}1$ y $t = 0{,}3\ \text{s}$ , así que $T = 0{,}2\ \text{s}$ .

\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{0{,}2} = 10\pi\ \text{rad/s}\qquad k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0{,}05} = 40\pi\ \text{rad/m}

Onda hacia

+x

, escrita con seno:

y(x,t) = A\sin(\omega t - kx + \varphi_0)

Las dos gráficas coinciden en que

y(0, 0) = -0{,}02\ \text{m}

, el mínimo:

-0{,}02 = 0{,}02\sin\varphi_0\quad\Longrightarrow\quad \sin\varphi_0 = -1\quad\Longrightarrow\quad \varphi_0 = -\frac{\pi}{2}\ \text{rad}

y(x,t) = 0{,}02\sin\!\left(10\pi t - 40\pi x - \frac{\pi}{2}\right)\ \text{m}\qquad (x\ \text{en m},\ t\ \text{en s})

Comprobación: en

t = 0

queda

y = -0{,}02\cos(40\pi x)

, que vale

+0{,}02\ \text{m}

x = 0{,}025\ \text{m}

; en

x = 0

queda

y = -0{,}02\cos(10\pi t)

, que vale

+0{,}02\ \text{m}

t = 0{,}1\ \text{s}

. Las dos cuadran con las figuras. Con coseno, la misma onda es

y = 0{,}02\cos(10\pi t - 40\pi x + \pi)\ \text{m}

.

b) Velocidad de propagación:

v = \frac{\lambda}{T} = \frac{0{,}05}{0{,}2} = 0{,}25\ \text{m/s}

Velocidad de vibración de un punto de la cuerda:

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = 0{,}02\cdot 10\pi\cos\!\left(10\pi t - 40\pi x - \frac{\pi}{2}\right) = 0{,}2\pi\cos\!\left(10\pi t - 40\pi x - \frac{\pi}{2}\right)\ \text{m/s}

x = 0{,}1\ \text{m}

t = 3\ \text{s}

la fase vale

30\pi - 4\pi - \dfrac{\pi}{2} = 26\pi - \dfrac{\pi}{2}

, y su coseno es

\cos\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = 0

v_y(0{,}1\ \text{m},\,3\ \text{s}) = 0

Tiene sentido: en ese instante la elongación es

y = 0{,}02\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) = -0{,}02\ \text{m}

, el punto está en su extremo inferior y se para un instante antes de volver a subir. Era de esperar:

x = 0{,}1\ \text{m}

son dos longitudes de onda y

t = 3\ \text{s}

son quince periodos, así que el punto está igual que

x = 0

t = 0

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Mira siempre qué hay en el eje horizontal: entre dos máximos de la gráfica $y(x)$ hay una $\lambda$ ; entre dos máximos de $y(t)$ , un periodo $T$ .

Antes de sustituir en la velocidad de vibración, busca atajos: si $x$ es un número entero de $\lambda$ y $t$ un número entero de $T$ , el punto está en el mismo estado que el origen en $t = 0$ , y las gráficas ya te dicen cuál es.