Satélites, órbitas y leyes de Kepler

a) Periodo del satélite geoestacionario:$$T = 24\ \text{h} = 86\,400\ \text{s}$$La fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta, con $v = 2\pi r/T$:$$\frac{G M_T m}{r^2} = m\,\frac{4\pi^2 r}{T^2}\quad\Longrightarrow\quad r = \sqrt[3]{\frac{G M_T T^2}{4\pi^2}}$$$$r = \sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot 86\,400^2}{4\pi^2}} = 4{,}22\cdot 10^{7}\ \text{m}$$Unos $42\,200\ \text{km}$ desde el centro de la Tierra, es decir, unos $35\,900\ \text{km}$ sobre la superficie. La masa del satélite no interviene: todos los geoestacionarios están a la misma distancia.

b) Energía mecánica en una órbita circular de radio $r$. De la igualdad de fuerzas, $m v^2 = G M_T m/r$, así que $E_c = \dfrac{G M_T m}{2r}$ y:$$E_m = \frac{1}{2}m v^2 - \frac{G M_T m}{r} = -\frac{G M_T m}{2r}$$Energía que hay que suministrar para pasar del radio $r$ al radio $3r$:$$\Delta E = E_{m,f} - E_{m,0} = -\frac{G M_T m}{6r} + \frac{G M_T m}{2r} = \frac{G M_T m}{3r}$$$$\Delta E = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}97\cdot 10^{24}\cdot 500}{3\cdot 4{,}22\cdot 10^{7}} = 1{,}57\cdot 10^{9}\ \text{J}$$Sale positiva: para subir a una órbita más alta hay que dar energía, aunque en la órbita nueva el satélite vaya más despacio (su energía cinética baja; la potencial sube el doble de lo que baja la cinética).