FísicaMedioProblema · 2 pts

Radiactividad y desintegración

Comunidad de Madrid · 2022 · Julio
Enunciado
El isótopo de americio, 241Am^{241}\text{Am}, se ha utilizado para la fabricación de detectores de humo. Si la cantidad de americio 241Am^{241}\text{Am} en un detector de humo en el momento de su fabricación es de 0,2 miligramos y su tiempo de vida media, τ\tau, es de 432 años, determine:

a) El tiempo de semidesintegración del 241Am^{241}\text{Am} y la actividad inicial del detector de humo.

b) La cantidad de 241Am^{241}\text{Am} en el detector de humo cuando su actividad haya disminuido un 80 % respecto de su valor inicial y el tiempo transcurrido.

Datos: Masa atómica del Am, MAm=241 uM_{Am} = 241\ \text{u}; Número de Avogadro, NA=6,02⋅1023 mol−1N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}.
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Resultado
  T1/2=299 an˜osA0=3,67⋅107 Bq  \boxed{\;T_{1/2} = 299\ \text{años}\qquad A_0 = 3{,}67\cdot 10^{7}\ \text{Bq}\;}  m=0,04 mgt=695 an˜os  \boxed{\;m = 0{,}04\ \text{mg}\qquad t = 695\ \text{años}\;}
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Estrategia

El dato es la vida media τ\tau, que no es el periodo de semidesintegración: es la inversa de la constante de desintegración, τ=1/λ\tau = 1/\lambda. De ahí salen T1/2=τln⁡2T_{1/2} = \tau\ln 2 y, contando los núcleos que hay en 0,2 mg, la actividad A0=λN0A_0 = \lambda N_0 (con λ\lambda en s⁻¹ para que salga en becquerelios). La actividad es proporcional al número de núcleos y, por tanto, a la masa: si la actividad baja un 80 %, queda el 20 % de la masa. El tiempo sale de la ley exponencial tomando logaritmos.
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Desarrollo

a) Periodo de semidesintegración. Con λ=1/τ\lambda = 1/\tau, la ley de desintegración es N=N0 e−t/τN = N_0\,e^{-t/\tau}; al cabo de T1/2T_{1/2} queda la mitad:N02=N0 e−T1/2/τ⇒T1/2=τln⁡2=432⋅ln⁡2=299 an˜os\frac{N_0}{2} = N_0\,e^{-T_{1/2}/\tau}\quad\Rightarrow\quad T_{1/2} = \tau\ln 2 = 432\cdot\ln 2 = 299\ \text{años}Actividad inicial. Núcleos que hay en 0,2 mg=2⋅10−4 g0{,}2\ \text{mg} = 2\cdot 10^{-4}\ \text{g}:N0=m0MAm NA=2⋅10−4241⋅6,02⋅1023=5,00⋅1017 nuˊcleosN_0 = \frac{m_0}{M_{Am}}\,N_A = \frac{2\cdot 10^{-4}}{241}\cdot 6{,}02\cdot 10^{23} = 5{,}00\cdot 10^{17}\ \text{núcleos}Pasamos la vida media a segundos para que la actividad salga en Bq:τ=432⋅365⋅24⋅3600=1,36⋅1010 sλ=1τ=7,34⋅10−11 s−1\tau = 432\cdot 365\cdot 24\cdot 3600 = 1{,}36\cdot 10^{10}\ \text{s}\qquad \lambda = \frac{1}{\tau} = 7{,}34\cdot 10^{-11}\ \text{s}^{-1}A0=λN0=7,34⋅10−11⋅5,00⋅1017=3,67⋅107 BqA_0 = \lambda N_0 = 7{,}34\cdot 10^{-11}\cdot 5{,}00\cdot 10^{17} = 3{,}67\cdot 10^{7}\ \text{Bq}b) Que la actividad disminuya un 80 % significa que queda el 20 %: A=0,2 A0A = 0{,}2\,A_0. Como A=λNA = \lambda N y la masa es proporcional a NN:mm0=NN0=AA0=0,2⇒m=0,2⋅0,2=0,04 mg\frac{m}{m_0} = \frac{N}{N_0} = \frac{A}{A_0} = 0{,}2\quad\Rightarrow\quad m = 0{,}2\cdot 0{,}2 = 0{,}04\ \text{mg}Tiempo transcurrido, tomando logaritmos en la ley exponencial:0,2=e−t/τ⇒t=−τln⁡0,2=τln⁡5=432⋅1,609=695 an˜os0{,}2 = e^{-t/\tau}\quad\Rightarrow\quad t = -\tau\ln 0{,}2 = \tau\ln 5 = 432\cdot 1{,}609 = 695\ \text{años}Comprobación: 695 años son 695/299≈2,3695/299 \approx 2{,}3 periodos de semidesintegración; tras dos periodos quedaría el 25 % y tras tres el 12,5 %, así que un 20 % encaja.
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Consejo

No confundas la vida media τ=1/λ\tau = 1/\lambda con el periodo de semidesintegración T1/2=τln⁡2T_{1/2} = \tau\ln 2: la vida media es siempre mayor (un 44 % más).

La actividad en becquerelios exige λ\lambda en s⁻¹. Y lee bien los porcentajes: «disminuye un 80 %» significa que queda el 20 %, no el 80 %.
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