FísicaFácilProblema · 2 pts

Inducción electromagnética

Comunidad de Madrid · 2022 · Julio
Enunciado
Una espira cuadrada de 20 cm20\ \text{cm} de lado se somete a la acción de un campo magnético variable con el tiempo B(t)B(t) perpendicular al plano de la espira. Halle el flujo magnético y la fem inducida en la espira en el tiempo t=2 st = 2\ \text{s} en los siguientes casos:

a) Cuando el campo magnético es B(t)=K tB(t) = K\,t, con KK igual a 2⋅10−3 T s−12\cdot 10^{-3}\ \text{T}\,\text{s}^{-1}.

b) Cuando el campo magnético es B(t)=3⋅10−3cos⁡(3πt)B(t) = 3\cdot 10^{-3}\cos(3\pi t), donde BB está en T y tt está en s.
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Resultado
  a)  Φ(2 s)=1,6⋅10−4 Wbε(2 s)=−8⋅10−5 V  \boxed{\;\text{a)}\ \ \Phi(2\ \text{s}) = 1{,}6\cdot 10^{-4}\ \text{Wb}\qquad \varepsilon(2\ \text{s}) = -8\cdot 10^{-5}\ \text{V}\;}  b)  Φ(2 s)=1,2⋅10−4 Wbε(2 s)=0  \boxed{\;\text{b)}\ \ \Phi(2\ \text{s}) = 1{,}2\cdot 10^{-4}\ \text{Wb}\qquad \varepsilon(2\ \text{s}) = 0\;}
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Estrategia

La espira no se mueve: lo que cambia es el campo. Como B⃗\vec B es perpendicular al plano de la espira, es paralelo a su vector superficie y el flujo es simplemente Φ=B S\Phi = B\,S. Escribimos el flujo en función del tiempo, lo evaluamos en t=2 st = 2\ \text{s} y, por la ley de Faraday, la fem es menos su derivada temporal, que también evaluamos en ese instante.
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Desarrollo

Superficie de la espira:S=(0,20)2=4⋅10−2 m2S = (0{,}20)^2 = 4\cdot 10^{-2}\ \text{m}^2Como B⃗∥S⃗\vec B \parallel \vec S, el ángulo entre ellos es cero y Φ(t)=B(t) S\Phi(t) = B(t)\,S.

a) Con B(t)=KtB(t) = K t:Φ(t)=K S t=2⋅10−3⋅4⋅10−2 t=8⋅10−5 t WbΦ(2 s)=1,6⋅10−4 Wb\Phi(t) = K\,S\,t = 2\cdot 10^{-3}\cdot 4\cdot 10^{-2}\,t = 8\cdot 10^{-5}\,t\ \text{Wb}\qquad \Phi(2\ \text{s}) = 1{,}6\cdot 10^{-4}\ \text{Wb}Ley de Faraday:ε=−dΦdt=−K S=−8⋅10−5 V\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -K\,S = -8\cdot 10^{-5}\ \text{V}La fem es constante (no depende de tt): vale −8⋅10−5 V-8\cdot 10^{-5}\ \text{V} también en t=2 st = 2\ \text{s}. El signo menos expresa la ley de Lenz: la corriente inducida circula en el sentido que crea un campo que se opone al aumento del flujo.
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b) Con B(t)=3⋅10−3cos⁡(3πt)B(t) = 3\cdot 10^{-3}\cos(3\pi t):Φ(t)=3⋅10−3⋅4⋅10−2cos⁡(3πt)=1,2⋅10−4cos⁡(3πt) Wb\Phi(t) = 3\cdot 10^{-3}\cdot 4\cdot 10^{-2}\cos(3\pi t) = 1{,}2\cdot 10^{-4}\cos(3\pi t)\ \text{Wb}Φ(2 s)=1,2⋅10−4cos⁡(6π)=1,2⋅10−4 Wb\Phi(2\ \text{s}) = 1{,}2\cdot 10^{-4}\cos(6\pi) = 1{,}2\cdot 10^{-4}\ \text{Wb}Ley de Faraday:ε(t)=−dΦdt=1,2⋅10−4⋅3π sin⁡(3πt)=3,6π⋅10−4 sin⁡(3πt) V\varepsilon(t) = -\frac{d\Phi}{dt} = 1{,}2\cdot 10^{-4}\cdot 3\pi\,\sin(3\pi t) = 3{,}6\pi\cdot 10^{-4}\,\sin(3\pi t)\ \text{V}ε(2 s)=3,6π⋅10−4 sin⁡(6π)=0\varepsilon(2\ \text{s}) = 3{,}6\pi\cdot 10^{-4}\,\sin(6\pi) = 0En t=2 st = 2\ \text{s} el flujo pasa por su máximo: en ese instante no está cambiando y la fem es nula, aunque el flujo sea el mayor posible. La amplitud de la fem es 3,6π⋅10−4≈1,13⋅10−3 V3{,}6\pi\cdot 10^{-4} \approx 1{,}13\cdot 10^{-3}\ \text{V}.
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Consejo

La fem depende de lo rápido que cambia el flujo, no de cuánto flujo hay: un flujo máximo puede ir con fem nula (apartado b) y un flujo pequeño con fem grande.

Al derivar cos⁡(3πt)\cos(3\pi t) no olvides la regla de la cadena: sale el factor 3π3\pi. Y pon la calculadora en radianes para evaluar sin⁡(6π)\sin(6\pi) y cos⁡(6π)\cos(6\pi).
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