FísicaMedioProblema · 2 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2022 · Julio

Enunciado

En el centro de una pista de baile circular de una discoteca el nivel de intensidad sonora es de

100\ \text{dB}

. La discoteca dispone de cuatro altavoces idénticos dispuestos alrededor de la pista de baile, todos ellos a la misma distancia del centro de la pista,

d = 10\ \text{m}

.

a) Determine la potencia de cada uno de los altavoces de la discoteca.

b) Si el oído humano tiene una superficie de

2\cdot 10^{-4}\ \text{m}^2

, y una persona permanece 5 horas bailando en el centro de la pista, ¿cuál es la energía sonora total que le llega al oído?

Dato: Intensidad umbral de audición,

I_0 = 10^{-12}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;P = \pi\ \text{W}\approx 3{,}14\ \text{W}\ \text{por altavoz}\;}

\boxed{\;E = 3{,}6\cdot 10^{-2}\ \text{J} = 36\ \text{mJ}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Primero pasamos los decibelios a intensidad (W/m²). Esa intensidad es la suma de lo que aporta cada altavoz: se suman las intensidades, nunca los decibelios. Como los cuatro altavoces son iguales y están a la misma distancia, cada uno aporta la cuarta parte. Tratando cada altavoz como un foco puntual que emite en todas direcciones, su intensidad a una distancia

d

es su potencia repartida sobre una esfera,

P/(4\pi d^2)

. Para el apartado b), la intensidad es energía por unidad de tiempo y de superficie: basta multiplicar por la superficie del oído y por el tiempo.

Desarrollo

a) Intensidad total en el centro de la pista, a partir del nivel sonoro:

\beta = 10\log\frac{I}{I_0}\quad\Rightarrow\quad I = I_0\cdot 10^{\beta/10} = 10^{-12}\cdot 10^{10} = 10^{-2}\ \text{W/m}^2

Los cuatro altavoces aportan lo mismo, y cada uno emite su potencia

P

uniformemente sobre una esfera de radio

d

I = 4\cdot\frac{P}{4\pi d^2} = \frac{P}{\pi d^2}

Despejamos la potencia de cada altavoz:

P = \pi d^2 I = \pi\cdot 10^2\cdot 10^{-2} = \pi\ \text{W}\approx 3{,}14\ \text{W}

b) La intensidad es la energía que atraviesa la unidad de superficie por unidad de tiempo,

I = \dfrac{E}{S\,t}

. Con

t = 5\ \text{h} = 5\cdot 3600 = 1{,}8\cdot 10^{4}\ \text{s}

E = I\,S\,t = 10^{-2}\cdot 2\cdot 10^{-4}\cdot 1{,}8\cdot 10^{4} = 3{,}6\cdot 10^{-2}\ \text{J} = 36\ \text{mJ}

Parece poca energía, pero 100 dB durante 5 horas es una exposición claramente dañina para el oído: lo que importa es la intensidad, no la energía total.

Consejo

Los decibelios no se suman: cuatro altavoces no dan $4\cdot 100\ \text{dB}$ . Pasa a intensidad, suma las intensidades (se supone que las fuentes son incoherentes) y, si te lo piden, vuelve a dB.

Para un foco puntual, la superficie es la de una esfera, $4\pi d^2$ , no la de un círculo.