FísicaMedioProblema · 2 pts

Campo y potencial gravitatorio

Comunidad de Madrid · 2022 · Julio

Enunciado

En el punto

(1, 0)\ \text{m}

del plano

(x, y)

se encuentra una partícula A de masa

m_A = 2\ \text{kg}

. Se sabe que para llevar una partícula B de masa

m_B

desde el origen de coordenadas al punto

(0, 2)\ \text{m}

el trabajo realizado por la fuerza del campo gravitatorio creado por la masa

m_A

-2{,}95\cdot 10^{-10}\ \text{J}

.

a) ¿Cuál es el valor de la masa

m_B

?

b) Calcule el valor del campo gravitatorio que crea la masa

m_A

en el punto

(0, 2)\ \text{m}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;m_B = 4{,}00\ \text{kg}\;}

\boxed{\;\vec g(0, 2) = 1{,}19\cdot 10^{-11}\,\vec i - 2{,}39\cdot 10^{-11}\,\vec j\ \text{N/kg}\qquad |\vec g| = 2{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N/kg}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La fuerza gravitatoria es conservativa: su trabajo solo depende de las posiciones inicial y final, y es menos la variación de la energía potencial,

W = -\Delta E_p

. B pasa de estar a 1 m de A a estar a

\sqrt 5

m; se aleja, así que el campo hace un trabajo negativo (hay que «tirar» de B contra la atracción), como dice el enunciado. De esa ecuación despejamos

m_B

. El campo en

(0, 2)

es un vector de módulo

Gm_A/r^2

que apunta hacia A.

Desarrollo

a) Distancias de B a la masa A, que está en

(1, 0)

r_1 = |(0,0) - (1,0)| = 1\ \text{m}\qquad r_2 = |(0,2) - (1,0)| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt 5\ \text{m}

El trabajo del campo es menos la variación de energía potencial, con

E_p = -G m_A m_B/r

W_{1\to 2} = -\left(E_{p,2} - E_{p,1}\right) = G m_A m_B\left(\frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}\right)

Despejamos

m_B

m_B = \frac{W_{1\to 2}}{G m_A\left(\dfrac{1}{r_2} - \dfrac{1}{r_1}\right)} = \frac{-2{,}95\cdot 10^{-10}}{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2\cdot\left(\dfrac{1}{\sqrt 5} - 1\right)} = \frac{-2{,}95\cdot 10^{-10}}{-7{,}37\cdot 10^{-11}} = 4{,}00\ \text{kg}

b) El vector que va de A al punto

P(0, 2)

\vec r = (0-1,\ 2-0) = (-1,\ 2)\ \text{m}

, de módulo

\sqrt 5\ \text{m}

. El campo gravitatorio apunta en sentido contrario, hacia A:

\vec g = -\frac{G m_A}{r^2}\,\frac{\vec r}{r} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2}{5}\cdot\frac{(-1,\ 2)}{\sqrt 5}

\vec g = 1{,}19\cdot 10^{-11}\,\vec i - 2{,}39\cdot 10^{-11}\,\vec j\ \text{N/kg}

Su módulo es:

|\vec g| = \frac{G m_A}{r^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2}{5} = 2{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N/kg}

Las componentes tienen sentido: desde

(0, 2)

, para ir hacia

(1, 0)

hay que moverse hacia

+x

y hacia

-y

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuidado con el signo del trabajo: $W_{\text{campo}} = -\Delta E_p$ . Si lo escribes al revés, te sale una masa negativa, que es la pista de que algo falla.

Interpreta el signo: alejar una masa de otra que la atrae cuesta trabajo externo, y el campo hace un trabajo negativo. Por eso el dato es negativo y la masa sale positiva.