FísicaFácilProblema · 2 pts

Núcleo atómico y reacciones nucleares

Comunidad de Madrid · 2022 · Julio
Enunciado
En el acelerador de partículas del CERN se tiene un protón moviéndose con una velocidad un 90 % de la velocidad de la luz, siendo su masa relativista de 3,83⋅10−27 kg3{,}83\cdot 10^{-27}\ \text{kg}. Determine:

a) La masa en reposo del protón.

b) La energía cinética que posee el protón, expresada en eV.

Datos: Velocidad de la luz en el vacío, c=3⋅108 m s−1c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}; Valor absoluto de la carga del electrón, e=1,6⋅10−19 Ce = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}.
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Resultado
  m0=1,67⋅10−27 kg  \boxed{\;m_0 = 1{,}67\cdot 10^{-27}\ \text{kg}\;}  Ec=1,94⋅10−10 J=1,22⋅109 eV≈1,2 GeV  \boxed{\;E_c = 1{,}94\cdot 10^{-10}\ \text{J} = 1{,}22\cdot 10^{9}\ \text{eV}\approx 1{,}2\ \text{GeV}\;}
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Estrategia

A velocidades próximas a la de la luz, la masa de una partícula (masa relativista) crece con el factor de Lorentz γ\gamma: m=γm0m = \gamma m_0. Conocida la velocidad, calculamos γ\gamma y despejamos la masa en reposo. La energía cinética relativista no es 12mv2\frac12 m v^2: es la diferencia entre la energía total, mc2mc^2, y la energía en reposo, m0c2m_0c^2. Al final pasamos de julios a electronvoltios.
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Desarrollo

a) Factor de Lorentz para v=0,9 cv = 0{,}9\,c:γ=11−v2c2=11−0,81=10,19=2,294\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - 0{,}81}} = \frac{1}{\sqrt{0{,}19}} = 2{,}294La masa relativista es m=γ m0m = \gamma\,m_0, así que:m0=m1−v2c2=3,83⋅10−27⋅0,19=1,67⋅10−27 kgm_0 = m\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = 3{,}83\cdot 10^{-27}\cdot\sqrt{0{,}19} = 1{,}67\cdot 10^{-27}\ \text{kg}Es, en efecto, la masa del protón que aparece en las tablas.

b) La energía total es E=mc2E = mc^2 y la energía en reposo E0=m0c2E_0 = m_0c^2; la cinética es la diferencia:Ec=mc2−m0c2=(m−m0) c2=(3,83−1,67)⋅10−27⋅(3⋅108)2=1,94⋅10−10 JE_c = mc^2 - m_0c^2 = (m - m_0)\,c^2 = (3{,}83 - 1{,}67)\cdot 10^{-27}\cdot(3\cdot 10^{8})^2 = 1{,}94\cdot 10^{-10}\ \text{J}Pasamos a electronvoltios (1 eV=1,6⋅10−19 J1\ \text{eV} = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{J}):Ec=1,94⋅10−101,6⋅10−19=1,22⋅109 eV≈1215 MeVE_c = \frac{1{,}94\cdot 10^{-10}}{1{,}6\cdot 10^{-19}} = 1{,}22\cdot 10^{9}\ \text{eV}\approx 1215\ \text{MeV}Es más que la energía en reposo del protón (unos 939 MeV939\ \text{MeV}), algo lógico con γ>2\gamma > 2.
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Consejo

A estas velocidades no vale Ec=12mv2E_c = \frac12 m v^2 (ni con mm ni con m0m_0): daría un resultado muy distinto. La cinética relativista es siempre Ec=(γ−1) m0c2=(m−m0) c2E_c = (\gamma - 1)\,m_0c^2 = (m - m_0)\,c^2.

Comprueba que m0<mm_0 < m: la masa en reposo es la más pequeña. Si te sale al revés, has multiplicado por γ\gamma en lugar de dividir.
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