FísicaMedioProblema · 2 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2022 · Julio

Enunciado

Una onda armónica transversal se propaga en el sentido positivo del eje

x

. En la figura se tiene una gráfica de la elongación de la onda para

t = 0

y para

x = 0

. A partir de dicha información determine:

Dos gráficas de la elongación y en cm. Izquierda, y frente a x (cm) en t = 0: senoide de amplitud 3 cm que vale −3 cm en x = 0, tiene máximos de 3 cm en x = 2, 6 y 10 cm y mínimos en x = 4 y 8 cm. Derecha, y frente a t (s) en x = 0: vale −3 cm en t = 0, tiene máximos en t = 0,5; 1,5; 2,5; 3,5 y 4,5 s y mínimos en t = 1, 2, 3, 4 y 5 s

a) La expresión matemática de la onda.

b) La velocidad de propagación de la onda y la velocidad de oscilación del punto

x = 3\ \text{cm}

t = 1\ \text{s}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;y(x,t) = 0{,}03\cos(2\pi t - 50\pi x + \pi)\ \text{m}\;}

\boxed{\;v = 0{,}04\ \text{m/s}\qquad v_y(0{,}03\ \text{m},\,1\ \text{s}) = 0{,}06\pi \approx 0{,}188\ \text{m/s}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las dos gráficas son dos «fotos» distintas de la misma onda. La de

t = 0

es una instantánea de la cuerda: la distancia entre dos máximos es la longitud de onda. La de

x = 0

es el movimiento de un solo punto a lo largo del tiempo: el tiempo entre dos máximos es el periodo. Las dos dan la amplitud. Con eso tenemos

\omega

k

; la fase inicial sale de lo que vale la elongación en

x = 0

t = 0

. Después, la velocidad de propagación es

\lambda/T

, y la de oscilación de un punto se obtiene derivando la elongación respecto del tiempo.

Desarrollo

a) Leemos las gráficas:

Amplitud (las dos): $A = 3\ \text{cm} = 0{,}03\ \text{m}$ .
Gráfica de $t = 0$ : hay máximos en $x = 2$ y $x = 6\ \text{cm}$ , así que $\lambda = 4\ \text{cm} = 0{,}04\ \text{m}$ .
Gráfica de $x = 0$ : hay máximos en $t = 0{,}5$ y $t = 1{,}5\ \text{s}$ , así que $T = 1\ \text{s}$ .

Con ellas:

\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi\ \text{rad/s}\qquad k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{0{,}04} = 50\pi\ \text{rad/m}\;\left(=\frac{\pi}{2}\ \text{rad/cm}\right)

Como se propaga hacia

+x

, la fase es

\omega t - kx + \varphi_0

. Escribimos la onda con coseno:

y(x,t) = A\cos(\omega t - kx + \varphi_0)

Las dos gráficas dicen que en

x = 0

t = 0

la elongación es mínima,

y(0,0) = -3\ \text{cm}

-3 = 3\cos\varphi_0\quad\Rightarrow\quad \cos\varphi_0 = -1\quad\Rightarrow\quad \varphi_0 = \pi\ \text{rad}

y(x,t) = 0{,}03\cos(2\pi t - 50\pi x + \pi)\ \text{m}\qquad (x\ \text{en m},\ t\ \text{en s})

Comprobación con las dos gráficas: en

t = 0

queda

y = -0{,}03\cos(50\pi x)

, que vale

-3\ \text{cm}

x = 0

+3\ \text{cm}

x = 2\ \text{cm}

; en

x = 0

queda

y = -0{,}03\cos(2\pi t)

, que vale

+3\ \text{cm}

t = 0{,}5\ \text{s}

. Ambas coinciden con las figuras.

Si se prefiere el seno, la misma onda es

y(x,t) = 0{,}03\sin\!\left(2\pi t - 50\pi x - \dfrac{\pi}{2}\right)\ \text{m}

(o, lo que es igual, con fase

+\dfrac{3\pi}{2}

).

b) Velocidad de propagación:

v = \frac{\lambda}{T} = \frac{0{,}04}{1} = 0{,}04\ \text{m/s}

La velocidad de oscilación de un punto es la derivada de la elongación respecto del tiempo (con

x

fijo):

v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = -0{,}03\cdot 2\pi\,\sin(2\pi t - 50\pi x + \pi)\ \text{m/s}

x = 0{,}03\ \text{m}

t = 1\ \text{s}

la fase vale

2\pi - 1{,}5\pi + \pi = \dfrac{3\pi}{2}

, y

\sin\dfrac{3\pi}{2} = -1

v_y = -0{,}06\pi\cdot(-1) = 0{,}06\pi \approx 0{,}188\ \text{m/s}

Es positiva: en ese instante el punto pasa por la posición de equilibrio (

\cos\frac{3\pi}{2} = 0

) subiendo, con su velocidad máxima

A\omega

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

No confundas las dos gráficas: en la de $y$ frente a $x$ la distancia entre máximos es $\lambda$ ; en la de $y$ frente a $t$ , el tiempo entre máximos es $T$ . Mira siempre qué hay en el eje horizontal.

La fase inicial depende de si usas seno o coseno: cualquiera vale si la compruebas en $(0, 0)$ . Y no mezcles centímetros y metros dentro de la fase: si $x$ va en metros, $k = 50\pi$ rad/m.