FísicaFácil2 pts

Radiactividad y desintegración

Extremadura · 2022 · Junio

Enunciado

El Pu-238 es un isótopo radiactivo que se ha utilizado en el Mars Science Laboratory como fuente de energía nuclear a largo plazo. Su período de semidesintegración es de 87,7 años. Si tenemos una pastilla de este isótopo con una actividad inicial de 40 kBq. Determina:

a) la constante de desintegración radiactiva del Pu-238; y

b) la actividad de la muestra al cabo de 100 años.

(Calificación de cada apartado, 1 punto).

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Resultado

\boxed{\;\lambda = 7{,}90\cdot 10^{-3}\ \text{años}^{-1} = 2{,}51\cdot 10^{-10}\ \text{s}^{-1}\;}

\boxed{\;A(100\ \text{años}) = 18{,}1\ \text{kBq}\;}

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Estrategia

La constante de desintegración se obtiene del periodo de semidesintegración,

\lambda = \ln 2/T_{1/2}

. La actividad es proporcional al número de núcleos, así que decae con la misma ley exponencial:

A = A_0\,e^{-\lambda t}

. Como

T_{1/2}

t

vienen en años, se puede trabajar en años sin pasar a segundos.

Desarrollo

a) Relación entre la constante de desintegración y el periodo de semidesintegración:

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{87{,}7\ \text{años}} = 7{,}90\cdot 10^{-3}\ \text{años}^{-1}

En el SI, pasando los años a segundos (

1\ \text{año} = 365\cdot 24\cdot 3600\ \text{s} = 3{,}15\cdot 10^{7}\ \text{s}

\lambda = \frac{7{,}90\cdot 10^{-3}}{3{,}15\cdot 10^{7}\ \text{s}} = 2{,}51\cdot 10^{-10}\ \text{s}^{-1}

b) La actividad,

A = \lambda N

, decae igual que el número de núcleos:

A = A_0\,e^{-\lambda t} = 40\ \text{kBq}\cdot e^{-7{,}90\cdot 10^{-3}\cdot 100} = 40\cdot e^{-0{,}790} = 40\cdot 0{,}454

A = 18{,}1\ \text{kBq} = 1{,}81\cdot 10^{4}\ \text{Bq}

Comprobación: 100 años es algo más de un periodo de semidesintegración (87,7 años), así que la actividad debe quedar algo por debajo de la mitad de 40 kBq. Así es: 18,1 kBq.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En $e^{-\lambda t}$ el producto $\lambda t$ no tiene unidades: si $\lambda$ va en años⁻¹, $t$ va en años. No hace falta pasar a segundos para el apartado b), pero sí dar $\lambda$ en el SI en el apartado a).

Estima siempre con los periodos: tras un periodo queda la mitad; tras dos, la cuarta parte.