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Campo y potencial gravitatorio

Extremadura · 2022 · Julio

Enunciado

Marte es un planeta bastante más pequeño que la Tierra. Concretamente, su diámetro es el 53% del de la Tierra y su masa el 11%. En los próximos años se quiere enviar un astronauta a la superficie de Marte. Si tuviese una masa de 80 kg, calcule:

a) el peso de este astronauta en la superficie de Marte y

b) la intensidad del campo gravitatorio que soporta en dicha superficie.

Datos: constante de gravitación universal

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2/\text{kg}^2

; masa de la Tierra

M_T = 6\cdot 10^{24}\ \text{kg}

; radio de la Tierra

R_T = 6370\ \text{km}

.

(Calificación de cada apartado, 1 punto).

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;P = 309\ \text{N}\ \ \text{(hacia el centro de Marte)}\;}

\boxed{\;g_M = 3{,}86\ \text{N/kg} = 3{,}86\ \text{m/s}^2\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Si el diámetro de Marte es el 53 % del terrestre, su radio también lo es:

R_M = 0{,}53\,R_T

; y su masa es

M_M = 0{,}11\,M_T

. El campo en la superficie es

g_M = G M_M/R_M^2

y el peso del astronauta, la fuerza gravitatoria que Marte ejerce sobre él,

P = m\,g_M

. Los dos apartados salen del mismo cálculo.

Desarrollo

a) Datos de Marte en el SI:

R_M = 0{,}53\cdot 6{,}37\cdot 10^{6} = 3{,}376\cdot 10^{6}\ \text{m}\qquad M_M = 0{,}11\cdot 6\cdot 10^{24} = 6{,}6\cdot 10^{23}\ \text{kg}

El peso del astronauta es la fuerza con la que Marte lo atrae, por la ley de gravitación universal:

P = \frac{G\,M_M\,m}{R_M^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6{,}6\cdot 10^{23}\cdot 80}{\left(3{,}376\cdot 10^{6}\right)^2} = 309\ \text{N}

Es una fuerza vertical dirigida hacia el centro de Marte.

b) La intensidad del campo gravitatorio en la superficie es la fuerza por unidad de masa:

g_M = \frac{G\,M_M}{R_M^2} = \frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 6{,}6\cdot 10^{23}}{\left(3{,}376\cdot 10^{6}\right)^2} = 3{,}86\ \text{N/kg}

y, en efecto,

P = m\,g_M = 80\cdot 3{,}86 = 309\ \text{N}

.

Comparación con la Tierra: como

g = GM/R^2

\frac{g_M}{g_T} = \frac{M_M/M_T}{\left(R_M/R_T\right)^2} = \frac{0{,}11}{0{,}53^2} = 0{,}392

Con los datos,

g_T = G M_T/R_T^2 = 9{,}86\ \text{N/kg}

, así que en Marte el astronauta pesa algo menos del 40 % de lo que pesa en la Tierra (

789\ \text{N}

). Su masa, 80 kg, es la misma en los dos planetas.

Consejo

El dato es el diámetro, pero en la fórmula va el radio: como los dos están en la misma proporción, $R_M = 0{,}53\,R_T$ . Y no olvides elevarlo al cuadrado.

Con cocientes ( $g_M/g_T = 0{,}11/0{,}53^2$ ) puedes comprobar el resultado en un minuto.