FísicaFácil2 pts

Núcleo atómico y reacciones nucleares

Extremadura · 2022 · Julio

Enunciado

Indica la relación entre energía de un cuerpo, su masa en reposo, y su velocidad, según la Teoría de la Relatividad. (Calificación, 2 puntos)

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Resultado

\boxed{\;E = \frac{m_0\,c^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma\,m_0\,c^2\qquad E_0 = m_0c^2\qquad E_c = (\gamma - 1)\,m_0c^2\;}

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Estrategia

Según la relatividad especial, la energía total de un cuerpo es su energía en reposo,

m_0c^2

, multiplicada por el factor de Lorentz

\gamma

, que depende de la velocidad. De ahí salen la energía en reposo, la energía cinética relativista y su límite clásico a velocidades pequeñas.

Desarrollo

Energía total. Un cuerpo de masa en reposo

m_0

que se mueve con velocidad

v

tiene una energía total

E = \gamma\,m_0\,c^2 = \frac{m_0\,c^2}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}

donde:

$E$ : energía total del cuerpo, en julios (J).
$m_0$ : masa en reposo (la que se mide en un sistema en el que el cuerpo está quieto), en kg.
$v$ : velocidad del cuerpo, en m/s.
$c = 3\cdot 10^{8}\ \text{m/s}$ : velocidad de la luz en el vacío.
$\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ : factor de Lorentz, adimensional y siempre $\geq 1$ .

Algunos libros lo escriben como

E = m\,c^2

con la «masa relativista»

m = \gamma\,m_0

, que crece con la velocidad: es la misma relación.

Energía en reposo. Si

v = 0

\gamma = 1

y el cuerpo tiene, solo por tener masa, una energía

E_0 = m_0\,c^2

Es la equivalencia entre masa y energía: la masa es una forma de energía. Por eso en las reacciones nucleares una pequeña pérdida de masa libera mucha energía.

Energía cinética. Es la diferencia entre la energía total y la de reposo:

E_c = E - E_0 = (\gamma - 1)\,m_0\,c^2

Consecuencias.

Cuando $v \to c$ , $\gamma \to \infty$ y la energía crece sin límite: ningún cuerpo con masa puede alcanzar la velocidad de la luz, porque haría falta una energía infinita.
Cuando $v \ll c$ , el desarrollo $\gamma \approx 1 + \tfrac{1}{2}\,v^2/c^2$ da $E_c \approx \tfrac{1}{2}\,m_0\,v^2$ : se recupera la energía cinética de la mecánica clásica.

Consejo

No basta con escribir $E = mc^2$ : di que $m_0$ es la masa en reposo, define $\gamma$ y explica qué pasa en los dos extremos ( $v \to c$ y $v \ll c$ ). Esos comentarios son los que completan la nota en una pregunta de teoría.