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Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Castilla y León · 2022 · Junio
Enunciado
Un motor produce un nivel de intensidad sonora de 80 dB80\ \text{dB}. ¿Cuántos motores iguales son necesarios para incrementar la intensidad sonora hasta 100 dB100\ \text{dB}?

Dato: Intensidad física umbral I0=10−12 W m−2I_0 = 10^{-12}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}.
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Resultado
  n=100 motores  \boxed{\;n = 100\ \text{motores}\;}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Los decibelios no se suman: lo que se suma es la intensidad física. Se pasa cada nivel sonoro a intensidad con β=10log⁡(I/I0)\beta = 10\log(I/I_0) y, como los motores son iguales, el número de motores es el cociente entre la intensidad buscada y la de un motor.
2

Desarrollo

Intensidad de un motor (β1=80 dB\beta_1 = 80\ \text{dB}):β1=10log⁡I1I0⟹I1=I0⋅10β1/10=10−12⋅108=10−4 W/m2\beta_1 = 10\log\frac{I_1}{I_0}\quad\Longrightarrow\quad I_1 = I_0\cdot 10^{\beta_1/10} = 10^{-12}\cdot 10^{8} = 10^{-4}\ \text{W/m}^2Intensidad que se quiere alcanzar (β=100 dB\beta = 100\ \text{dB}):I=I0⋅10100/10=10−12⋅1010=10−2 W/m2I = I_0\cdot 10^{100/10} = 10^{-12}\cdot 10^{10} = 10^{-2}\ \text{W/m}^2Las intensidades de nn motores iguales se suman, I=n I1I = n\,I_1:n=II1=10−210−4=100n = \frac{I}{I_1} = \frac{10^{-2}}{10^{-4}} = 100Comprobación: subir 20 dB20\ \text{dB} equivale a multiplicar la intensidad por 1020/10=10010^{20/10} = 100.
3

Consejo

El error típico es pensar que con dos motores se pasa de 8080 a 160 dB160\ \text{dB}. Doblar la intensidad solo sube el nivel unos 3 dB3\ \text{dB}; cada 10 dB10\ \text{dB} más es multiplicar la intensidad por 1010.
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