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Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Castilla y León · 2022 · Junio
Enunciado
Un oscilador vibra a 6 Hz6\ \text{Hz} de frecuencia y genera ondas que se desplazan a una velocidad de 2,4 m s−12{,}4\ \text{m}\,\text{s}^{-1}. Calcule la distancia mínima entre dos puntos que vibran con una diferencia de fase de 60∘60^\circ.
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Resultado
  λ=0,40 mΔxmin⁡=6,67 cm  \boxed{\;\lambda = 0{,}40\ \text{m}\qquad \Delta x_{\min} = 6{,}67\ \text{cm}\;}
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

Dos puntos separados una longitud de onda λ\lambda vibran con un desfase de 2π2\pi rad (360∘360^\circ). El desfase en un mismo instante es proporcional a la distancia, Δφ=k Δx=2π Δx/λ\Delta\varphi = k\,\Delta x = 2\pi\,\Delta x/\lambda. Se calcula λ\lambda con v=λfv = \lambda f y luego la fracción de λ\lambda que corresponde a 60∘60^\circ.
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Desarrollo

Longitud de onda:λ=vf=2,46=0,40 m\lambda = \frac{v}{f} = \frac{2{,}4}{6} = 0{,}40\ \text{m}Pasamos el desfase a radianes: 60∘=π/3 rad60^\circ = \pi/3\ \text{rad}. En un mismo instante, la diferencia de fase entre dos puntos separados Δx\Delta x es:Δφ=2πλ Δx⟹Δx=Δφ2π λ=π/32π⋅0,40=0,406\Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta x\quad\Longrightarrow\quad \Delta x = \frac{\Delta\varphi}{2\pi}\,\lambda = \frac{\pi/3}{2\pi}\cdot 0{,}40 = \frac{0{,}40}{6}Δx=6,67⋅10−2 m=6,67 cm\Delta x = 6{,}67\cdot 10^{-2}\ \text{m} = 6{,}67\ \text{cm}Es la distancia mínima: cualquier otra pareja de puntos con ese mismo desfase está separada Δx+nλ\Delta x + n\lambda, con nn entero.
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Consejo

Piensa en proporciones: 360∘360^\circ son una longitud de onda, así que 60∘60^\circ son la sexta parte de λ\lambda. Si usas la fórmula con 2π2\pi, pon el ángulo en radianes.
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