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Radiactividad y desintegración

Castilla y León · 2022 · Junio
Enunciado
El isótopo uranio 92234U{}^{234}_{92}\text{U} tiene un periodo de semidesintegración (semivida) de 2,5⋅1052{,}5\cdot 10^{5} años. Si se parte de una muestra de 10 g10\ \text{g} de dicha sustancia, determine la masa que quedará sin desintegrar después de 5⋅1045\cdot 10^{4} años.
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Resultado
  m=8,71 g  sin desintegrar  \boxed{\;m = 8{,}71\ \text{g}\ \ \text{sin desintegrar}\;}
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Estrategia

La ley de desintegración radiactiva dice que el número de núcleos sin desintegrar, y por tanto la masa, disminuye exponencialmente: m=m0 e−λtm = m_0\,e^{-\lambda t}. La constante de desintegración sale del periodo de semidesintegración, λ=ln⁡2/T1/2\lambda = \ln 2/T_{1/2}. Como tt y T1/2T_{1/2} están en años, no hace falta pasar a segundos.
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Desarrollo

Constante de desintegración:λ=ln⁡2T1/2=0,6932,5⋅105 an˜os=2,77⋅10−6 an˜os−1\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{2{,}5\cdot 10^{5}\ \text{años}} = 2{,}77\cdot 10^{-6}\ \text{años}^{-1}La masa de 234^{234}U es proporcional al número de núcleos que quedan, así que sigue la misma ley:m=m0 e−λt=10⋅e−2,77⋅10−6⋅5⋅104=10⋅e−0,139=8,71 gm = m_0\,e^{-\lambda t} = 10\cdot e^{-2{,}77\cdot 10^{-6}\cdot 5\cdot 10^{4}} = 10\cdot e^{-0{,}139} = 8{,}71\ \text{g}Comprobación: el tiempo transcurrido es t/T1/2=0,2t/T_{1/2} = 0{,}2 semividas, y m=m0 (1/2)0,2=10⋅0,871=8,71 gm = m_0\,(1/2)^{0{,}2} = 10\cdot 0{,}871 = 8{,}71\ \text{g}. Al ser menos de una semivida, queda más de la mitad, como debe ser. Se han desintegrado 1,29 g1{,}29\ \text{g}.
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Consejo

Si tt y T1/2T_{1/2} están en la misma unidad, no conviertas a segundos: λt\lambda t es adimensional y sale igual. Compara siempre con las semividas transcurridas para detectar errores.
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