FísicaMedio1 pts

Campo y potencial gravitatorio

Castilla y León · 2022 · Junio

Enunciado

Un meteorito cae libremente hacia la Tierra. A

500\ \text{km}

de altura sobre la superficie terrestre su velocidad es

1200\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

. Determine la velocidad con la que impactará sobre la superficie terrestre (desprecie la fricción con la atmósfera).

Datos (de la tabla de constantes del examen):

G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}

;

R_T = 6{,}37\cdot 10^{6}\ \text{m}

;

M_T = 5{,}98\cdot 10^{24}\ \text{kg}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;v_{\text{impacto}} = 3{,}25\cdot 10^{3}\ \text{m/s}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Sin rozamiento, la única fuerza que actúa es la gravitatoria, que es conservativa: la energía mecánica del meteorito se conserva. A

500\ \text{km}

de altura ya no vale

E_p = mgh

, porque

g

cambia con la altura, así que se usa la energía potencial

E_p = -GM_Tm/r

. La masa del meteorito se simplifica.

Desarrollo

Distancias al centro de la Tierra:

r_A = R_T + h = 6{,}37\cdot 10^{6} + 5{,}00\cdot 10^{5} = 6{,}87\cdot 10^{6}\ \text{m}\qquad r_B = R_T = 6{,}37\cdot 10^{6}\ \text{m}

Conservación de la energía mecánica entre el punto

A

500\ \text{km}

) y el punto

B

(la superficie):

\frac{1}{2}m v_A^2 - \frac{G M_T m}{r_A} = \frac{1}{2}m v_B^2 - \frac{G M_T m}{R_T}

Dividimos entre

m

y despejamos

v_B

v_B = \sqrt{v_A^2 + 2 G M_T\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{r_A}\right)}

Con los datos,

G M_T = 3{,}99\cdot 10^{14}\ \text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-1}

2 G M_T\left(\frac{1}{R_T} - \frac{1}{r_A}\right) = 2\cdot 3{,}99\cdot 10^{14}\left(\frac{1}{6{,}37\cdot 10^{6}} - \frac{1}{6{,}87\cdot 10^{6}}\right) = 9{,}11\cdot 10^{6}\ \text{m}^2/\text{s}^2

v_B = \sqrt{1200^2 + 9{,}11\cdot 10^{6}} = \sqrt{1{,}44\cdot 10^{6} + 9{,}11\cdot 10^{6}} = 3{,}25\cdot 10^{3}\ \text{m/s}

El meteorito gana velocidad al caer porque pierde energía potencial: el campo gravitatorio realiza trabajo positivo sobre él.

Consejo

A cientos de kilómetros de altura no uses $mgh$ : $g$ ya no es constante. Con $E_p = -GMm/r$ la masa del cuerpo se simplifica y solo necesitas las dos distancias al centro de la Tierra.

Si usaras $mgh$ con $g_0 = 9{,}80\ \text{m/s}^2$ te saldría unos $3{,}35\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$ : un error pequeño en el número, pero el corrector lo penaliza como un planteamiento incorrecto.