Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Consideramos la órbita de la Luna circular, de radio $r$. La fuerza gravitatoria que ejerce la Tierra es la fuerza centrípeta:$$\frac{G\,M_T\,m_L}{r^2} = m_L\,\omega^2 r = m_L\,\frac{4\pi^2}{T^2}\,r$$La masa de la Luna se simplifica y queda la tercera ley de Kepler:$$T = 2\pi\sqrt{\frac{r^3}{G\,M_T}}$$Si se duplica la masa de la Luna: el periodo no cambia. $T$ no depende de $m_L$: al duplicar $m_L$ se duplica la fuerza gravitatoria, pero también la inercia de la Luna, y la aceleración $a = GM_T/r^2$ es la misma. Cualquier cuerpo en esa órbita tarda lo mismo en recorrerla.

Si se duplica la masa de la Tierra: con la Luna en una órbita del mismo radio, el periodo es inversamente proporcional a $\sqrt{M_T}$:$$\frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{M_T}{2M_T}} = \frac{1}{\sqrt 2}\quad\Longrightarrow\quad T' = \frac{T}{\sqrt 2} \approx 0{,}71\,T$$El periodo disminuye: la atracción es el doble y la Luna tendría que girar más deprisa (su velocidad orbital $v = \sqrt{GM_T/r}$ aumentaría en un factor $\sqrt 2$).

Dos matices para quien quiera afinar. Si el cambio fuera de verdad repentino, la Luna conservaría en ese instante su velocidad, que ya no basta para una órbita circular de radio $r$: pasaría a una elipse más pequeña con su apogeo en ese punto y su periodo sería aún menor, pero la conclusión (el periodo disminuye) no cambia. Y en el problema de dos cuerpos interviene $M_T + m_L$; como la Luna tiene unas 81 veces menos masa que la Tierra, duplicarla solo reduciría el periodo alrededor de un 0,6 %, un efecto despreciable.