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Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Castilla y León · 2022 · Julio
Enunciado
Una fuente sonora puntual emite con una potencia de 80 W80\ \text{W}. Determine el nivel de intensidad sonora en los puntos distantes 10 m10\ \text{m} de la fuente y la distancia a la fuente a la que el nivel de intensidad sonora es 130 dB130\ \text{dB}.

Dato: Intensidad física umbral I0=10−12 W m−2I_0 = 10^{-12}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}.
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Resultado
  β(10 m)=108 dBr(130 dB)=0,798 m  \boxed{\;\beta(10\ \text{m}) = 108\ \text{dB}\qquad r(130\ \text{dB}) = 0{,}798\ \text{m}\;}
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Estrategia

Una fuente puntual reparte su potencia por igual sobre esferas centradas en ella, así que la intensidad a una distancia rr es I=P/(4πr2)I = P/(4\pi r^2). El nivel de intensidad sonora es β=10log⁡(I/I0)\beta = 10\log(I/I_0). Para la segunda parte se hace el camino inverso: del nivel a la intensidad y de la intensidad a la distancia.
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Desarrollo

Intensidad a r=10 mr = 10\ \text{m}:I=P4πr2=804π⋅102=6,37⋅10−2 W/m2I = \frac{P}{4\pi r^2} = \frac{80}{4\pi\cdot 10^2} = 6{,}37\cdot 10^{-2}\ \text{W/m}^2Nivel de intensidad sonora:β=10log⁡II0=10log⁡6,366⋅10−210−12=10log⁡(6,366⋅1010)=108 dB\beta = 10\log\frac{I}{I_0} = 10\log\frac{6{,}366\cdot 10^{-2}}{10^{-12}} = 10\log\left(6{,}366\cdot 10^{10}\right) = 108\ \text{dB}Intensidad que corresponde a 130 dB130\ \text{dB}:130=10log⁡I′I0⟹I′=I0⋅1013=10−12⋅1013=10 W/m2130 = 10\log\frac{I'}{I_0}\quad\Longrightarrow\quad I' = I_0\cdot 10^{13} = 10^{-12}\cdot 10^{13} = 10\ \text{W/m}^2Distancia a la que se tiene esa intensidad:I′=P4πr′2⟹r′=P4πI′=804π⋅10=0,798 mI' = \frac{P}{4\pi r'^2}\quad\Longrightarrow\quad r' = \sqrt{\frac{P}{4\pi I'}} = \sqrt{\frac{80}{4\pi\cdot 10}} = 0{,}798\ \text{m}Tiene sentido: para subir el nivel hay que acercarse a la fuente (130 dB está por encima del umbral de dolor).
3

Consejo

La intensidad baja con el cuadrado de la distancia, pero el nivel en decibelios no: al alejarte el doble, II se divide entre 4 y β\beta solo baja 10log⁡4≈6 dB10\log 4 \approx 6\ \text{dB}.

Para despejar II del nivel, I=I0⋅10β/10I = I_0\cdot 10^{\beta/10}.
Paso 1 de 3
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