FísicaMedio1 pts

Inducción electromagnética

Castilla y León · 2022 · Julio

Enunciado

Una espira rectangular, cuyos lados miden

40\ \text{cm}

50\ \text{cm}

, respectivamente, se sitúa en una región del espacio en la que existe un campo magnético uniforme cuyo módulo varía con el tiempo según se observa en la figura. Si el plano de la espira es perpendicular a la dirección del campo magnético, determine y represente la variación temporal de la fuerza electromotriz inducida en ella en el intervalo mostrado.

Gráfica del módulo del campo magnético B, en mT, frente al tiempo t, en s, entre 0 y 20 s. B crece linealmente desde 0 en t = 0 hasta 90 mT en t = 3 s; se mantiene constante en 90 mT hasta t = 10 s, y después disminuye linealmente hasta 0 en t = 20 s

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Resultado

\boxed{\;\varepsilon = \begin{cases} -6{,}00\cdot 10^{-3}\ \text{V} & 0 < t < 3\ \text{s}\\ 0 & 3\ \text{s} < t < 10\ \text{s}\\ +1{,}80\cdot 10^{-3}\ \text{V} & 10\ \text{s} < t < 20\ \text{s}\end{cases}\;}

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Estrategia

Con el plano de la espira perpendicular al campo, el flujo es

\Phi = B\,S

y solo varía porque varía

B

. Por la ley de Faraday,

\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt} = -S\,\dfrac{dB}{dt}

, y en cada tramo recto de la gráfica

dB/dt

es la pendiente, constante. Así que la f.e.m. es constante en cada tramo: calculamos la pendiente de los tres tramos y dibujamos la gráfica escalonada.

Desarrollo

Superficie de la espira:

S = 0{,}40\ \text{m}\cdot 0{,}50\ \text{m} = 0{,}20\ \text{m}^2

Tomamos el vector superficie en el sentido del campo, así que el flujo es

\Phi = B\,S\cos 0^\circ = B\,S

y la ley de Faraday da:

\varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -S\,\frac{dB}{dt}

Leemos en la gráfica las pendientes de cada tramo (cada cuadro horizontal es

1\ \text{s}

).

Tramo de 0 a 3 s.

B

sube de 0 a

90\ \text{mT}

\frac{dB}{dt} = \frac{0{,}090\ \text{T}}{3\ \text{s}} = 0{,}030\ \text{T/s}\quad\Longrightarrow\quad \varepsilon_1 = -0{,}20\cdot 0{,}030 = -6{,}00\cdot 10^{-3}\ \text{V}

Tramo de 3 a 10 s.

B

es constante, el flujo no varía:

\frac{dB}{dt} = 0\quad\Longrightarrow\quad \varepsilon_2 = 0

Tramo de 10 a 20 s.

B

baja de

90\ \text{mT}

a 0:

\frac{dB}{dt} = \frac{-0{,}090\ \text{T}}{10\ \text{s}} = -9{,}0\cdot 10^{-3}\ \text{T/s}\quad\Longrightarrow\quad \varepsilon_3 = -0{,}20\cdot\left(-9{,}0\cdot 10^{-3}\right) = 1{,}80\cdot 10^{-3}\ \text{V}

Los signos opuestos de

\varepsilon_1

\varepsilon_3

indican que la corriente inducida circula en sentidos contrarios en los dos tramos (ley de Lenz): mientras el flujo crece, la corriente crea un campo que se opone al externo; mientras disminuye, crea un campo en su mismo sentido. Además,

|\varepsilon_3| < |\varepsilon_1|

porque el campo baja más despacio de lo que subió.

Representación de la f.e.m. frente al tiempo:

Gráfica de la fuerza electromotriz inducida, en mV, frente al tiempo, en s. Es escalonada: vale −6 mV entre 0 y 3 s, 0 entre 3 y 10 s y +1,8 mV entre 10 y 20 s

Consejo

Si $B$ varía linealmente, la f.e.m. es constante en ese tramo: la gráfica de $\varepsilon(t)$ es la de la pendiente de $B(t)$ cambiada de signo y multiplicada por $S$ . Donde $B$ no cambia, no hay f.e.m.

Pasa los mT a T y los cm a m antes de calcular, y comenta el signo con la ley de Lenz.