FísicaFácil1 pts

Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre

Castilla y León · 2022 · Julio

Enunciado

Calcule la longitud de onda asociada a un electrón que, partiendo del reposo, es acelerado mediante una diferencia de potencial de

3250\ \text{V}

.

Datos (de la tabla de constantes del examen):

e = 1{,}60\cdot 10^{-19}\ \text{C}

;

m_e = 9{,}11\cdot 10^{-31}\ \text{kg}

;

h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\,\text{s}

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Resultado

\boxed{\;\lambda = \frac{h}{\sqrt{2\,m_e\,e\,V}} = 2{,}15\cdot 10^{-11}\ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Al atravesar la diferencia de potencial, el campo eléctrico hace sobre el electrón un trabajo

eV

que se convierte en energía cinética. De ella sale el momento lineal,

p = \sqrt{2m_eE_c}

, y la longitud de onda de De Broglie es

\lambda = h/p

Desarrollo

Energía cinética que adquiere el electrón (parte del reposo):

E_c = e\,V = 1{,}60\cdot 10^{-19}\cdot 3250 = 5{,}20\cdot 10^{-16}\ \text{J}

Momento lineal:

p = \sqrt{2\,m_e\,E_c} = \sqrt{2\cdot 9{,}11\cdot 10^{-31}\cdot 5{,}20\cdot 10^{-16}} = 3{,}08\cdot 10^{-23}\ \text{kg}\,\text{m/s}

(Corresponde a

v = p/m_e = 3{,}38\cdot 10^{7}\ \text{m/s}

, un 11 % de la velocidad de la luz: el cálculo clásico es una buena aproximación.)

Longitud de onda de De Broglie:

\lambda = \frac{h}{p} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{3{,}078\cdot 10^{-23}} = 2{,}15\cdot 10^{-11}\ \text{m}

Es menor que el tamaño de un átomo (

\sim 10^{-10}\ \text{m}

): por eso los electrones acelerados se difractan en los cristales y permiten ver detalles más finos que la luz en el microscopio electrónico.

Consejo

Con una partícula acelerada por una diferencia de potencial, el camino directo es $\lambda = h/\sqrt{2meV}$ : no hace falta calcular la velocidad.

Comprueba que $v$ es pequeña frente a $c$ ; si no lo fuera, habría que usar el momento relativista.