FísicaFácilCuestión · 1 pts

Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre

Castilla-La Mancha · 2022 · Junio
Enunciado
¿Cuál es la longitud de onda asociada de un electrón cuya velocidad es la mitad de la velocidad de la luz? ¿Y la de una pelota de tenis de 50 g50\,\text{g} que se mueve a una velocidad de 400 m/s400\,\text{m/s}? Teniendo en cuenta que el tamaño de un núcleo atómico es del orden de 10−15 m10^{-15}\,\text{m}, ¿qué conclusión sacas de los valores calculados para las longitudes de onda?

Datos: h=6,63⋅10−34 J sh = 6{,}63\cdot 10^{-34}\,\text{J s}; me=9,11⋅10−31 kgm_e = 9{,}11\cdot 10^{-31}\,\text{kg}; c=3⋅108 m/sc = 3\cdot 10^8\,\text{m/s}
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Resultado
  λe=4,85⋅10−12 mλpelota=3,3⋅10−35 m  \boxed{\;\lambda_e = 4{,}85\cdot 10^{-12}\ \text{m}\qquad \lambda_{\text{pelota}} = 3{,}3\cdot 10^{-35}\ \text{m}\;}
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Estrategia

La longitud de onda de De Broglie es λ=h/p=h/(mv)\lambda = h/p = h/(mv). Se compara cada resultado con el tamaño de los objetos con los que podría interaccionar: solo se notan los efectos ondulatorios (difracción) si λ\lambda es comparable a ese tamaño.
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Desarrollo

Electrón (v=1,5⋅108 m/sv = 1{,}5\cdot 10^8\,\text{m/s}):λe=hmev=6,63⋅10−349,11⋅10−31⋅1,5⋅108=4,85⋅10−12 m\lambda_e = \frac{h}{m_e v} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{9{,}11\cdot 10^{-31}\cdot 1{,}5\cdot 10^8} = 4{,}85\cdot 10^{-12}\ \text{m}(A esta velocidad los efectos relativistas ya se notan: con el momento relativista saldría unos 4,2⋅10−12 m4{,}2\cdot 10^{-12}\,\text{m}; el orden de magnitud no cambia.)

Pelota de tenis:λp=hmv=6,63⋅10−340,050⋅400=3,3⋅10−35 m\lambda_p = \frac{h}{m v} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{0{,}050\cdot 400} = 3{,}3\cdot 10^{-35}\ \text{m}Conclusión: la longitud de onda del electrón es del orden del tamaño de los átomos y mucho mayor que un núcleo, así que su comportamiento ondulatorio es observable (los electrones se difractan en los cristales, y en eso se basa el microscopio electrónico). La de la pelota es unos 102010^{20} veces menor que un núcleo: ningún obstáculo puede revelar su carácter ondulatorio, y se comporta como un objeto clásico.
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Consejo

No basta con dar los dos números: la pregunta pide la conclusión. Compáralos con el tamaño de un núcleo y explica qué significa que una λ\lambda sea tan pequeña.
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