FísicaMedioProblema · 3 pts

Inducción electromagnética

Castilla-La Mancha · 2022 · Junio

Enunciado

Una bobina circular de radio

15\,\text{cm}

50

espiras se coloca de manera que su eje forma un ángulo de

30^\circ

con un campo magnético uniforme cuyo valor varía en el tiempo según

B(t) = 4 - (t-2)^2\ \text{T}

. La resistencia total de la bobina son

5\,\Omega

B(t) frente a t entre 0 y 4 s, con máximo de 4 T en t = 2 s; bobina con su vector superficie S hacia arriba, el campo B inclinado y los sentidos A (horario visto desde arriba) y B (antihorario)

a) Calcula el valor del flujo magnético en

t = 2\,\text{s}

.

b) Determina el valor de la corriente inducida en la bobina en función del tiempo.

c) Calcula el valor de la corriente inducida en

t = 1\,\text{s}

y en

t = 3\,\text{s}

, y razona si el sentido en cada caso será el indicado en el esquema como «A» (horario visto desde arriba) o el «B» (antihorario visto desde arriba). Explica por qué no son iguales si el valor del campo es en ambos momentos igual (

3\,\text{T}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\Phi(2\ \text{s}) = 12{,}2\ \text{Wb}\qquad I(t) = 1{,}22\,(t - 2)\ \text{A}\;}

\boxed{\;t = 1\ \text{s}: 1{,}22\ \text{A, sentido A (horario)}\qquad t = 3\ \text{s}: 1{,}22\ \text{A, sentido B (antihorario)}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El flujo a través de la bobina es

\Phi = N B S\cos 30^\circ

, con

S = \pi r^2

. La ley de Faraday da

\varepsilon = -d\Phi/dt

, que solo depende de cómo cambia

B

; la corriente es

I = \varepsilon/R

. El sentido sale de la ley de Lenz.

Desarrollo

S = \pi\cdot 0{,}15^2 = 7{,}07\cdot 10^{-2}\ \text{m}^2 \qquad N S\cos 30^\circ = 50\cdot 7{,}07\cdot 10^{-2}\cdot 0{,}866 = 3{,}06\ \text{m}^2

a) En

t = 2\,\text{s}

B = 4\,\text{T}

\Phi = N B S\cos 30^\circ = 3{,}06\cdot 4 = 12{,}2\ \text{Wb}

(por cada espira,

12{,}2/50 = 0{,}245\,\text{Wb}

).

b)

\frac{dB}{dt} = -2\,(t - 2)\ \text{T/s} \qquad \varepsilon = -\frac{d\Phi}{dt} = -N S\cos 30^\circ\,\frac{dB}{dt} = 6{,}12\,(t - 2)\ \text{V}

I(t) = \frac{\varepsilon}{R} = 1{,}22\,(t - 2)\ \text{A}\qquad (0 \leq t \leq 4\ \text{s})

I(1) = -1{,}22\,\text{A}

I(3) = +1{,}22\,\text{A}

: el mismo valor,

1{,}22\,\text{A}

, pero en sentidos contrarios.

En $t = 1\,\text{s}$ el campo está aumentando (la gráfica sube): el flujo hacia arriba crece y la corriente inducida crea un campo hacia abajo para oponerse. Vista desde arriba, la corriente gira en sentido horario: «A».
En $t = 3\,\text{s}$ el campo está disminuyendo: la corriente inducida refuerza el campo hacia arriba y gira en sentido antihorario: «B».

No importa que

B

valga

3\,\text{T}

en los dos instantes: la corriente inducida depende de la rapidez con que cambia el flujo, no del valor del campo. En

t = 1\,\text{s}

dB/dt = +2\,\text{T/s}

; en

t = 3\,\text{s}

dB/dt = -2\,\text{T/s}

Consejo

El ángulo de $30^\circ$ es entre el eje de la bobina y el campo, así que va con el coseno. Si fuera el ángulo entre el plano de la bobina y el campo, iría con el seno.