Campo y potencial gravitatorio

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

Si la intensidad del campo gravitatorio es uniforme, el módulo de la diferencia de potencial se expresa como:

0,3 p. $|\Delta V| = gd$; entonces:

0,25 p. $g = \dfrac{|\Delta V|}{d} = \dfrac{74{,}4\ \text{J/kg}}{20{,}0\ \text{m}} = 3{,}72\ \text{m/s}^2$

No se puede considerar correcta ninguna deducción que llegue a la relación $g = G\,\dfrac{M}{R^2}$, ya que se pide explícitamente que se determine $g$ a partir de la diferencia de potencial. El objetivo de este problema es comprobar que el estudiante conoce y sabe aplicar la relación existente entre el campo y la diferencia de potencial cuando el campo es uniforme.

0,4 p. El potencial gravitatorio es una magnitud escalar; por tanto, no pueden ser ni el esquema «a» ni el esquema «b». Por otra parte, las líneas de campo gravitatorio indican la dirección de la fuerza que actúa sobre una masa puntual; por tanto, son perpendiculares a la superficie del planeta y van dirigidas de arriba abajo (líneas rojas en el esquema). Como las superficies equipotenciales son perpendiculares a las líneas de campo, estas son paralelas a la superficie y, por tanto, en la proyección en el plano del dibujo corresponden a las líneas horizontales: esquema «c».

0,3 p. Las líneas de campo indican la dirección en la que el potencial disminuye; por tanto, el potencial será mayor cuanto más alejados estemos de la superficie. Una justificación alternativa es a partir de la expresión del potencial $V(r) = -G\,\dfrac{M}{r}$: ya que cuando nos alejamos de la superficie $r$ disminuye, entonces el potencial aumenta.

Todo este apartado también se puede resolver partiendo de la expresión (válida cuando $g$ es uniforme):$$U = mgh \;\Rightarrow\; V = \frac{U}{m} = gh,\qquad \text{donde } U_0 = U(h = 0) = 0\ \text{J}$$Esta última expresión nos permite determinar $g$ y justificar cómo son las líneas de campo y que $V$ aumenta cuando $h$ aumenta.

b)

0,5 p. El trabajo que hace el campo gravitatorio es:$$W_{cg} = -\Delta U = -m\Delta V = -1025\,(-74{,}4) = 76\,300\ \text{J}$$Observe que $\Delta V = -74{,}4\ \text{J/kg}$, ya que partimos de un potencial alto para acabar en un potencial más bajo; por tanto, la diferencia de potencial es negativa. Alternativamente:$$W_{cg} = -\Delta U = -(U_{fin} - U_{in}) = -(0 - mgh) = mgh = 76\,300\ \text{J}$$0,5 p. Por otra parte, el teorema de las fuerzas vivas establece que el trabajo total es igual a la variación de energía cinética. Como la sonda baja a velocidad constante, la variación de energía cinética es cero y también lo será el trabajo total.

0,25 p. Como el trabajo hecho por las fuerzas de rozamiento es nulo, el trabajo total es la suma del trabajo hecho por el campo gravitatorio y el trabajo hecho por la grúa:$$W_{\text{grúa}} + W_{cg} = 0 \;\Rightarrow\; W_{\text{grúa}} = -W_{cg} = -76\,300\ \text{J}$$Para obtener estos 0,25 p, no solo hay que dar el valor correcto del trabajo: hace falta que el signo también sea el correcto. La fuerza que hace la grúa se opone al movimiento; por tanto, este trabajo es negativo.

Alternativamente, todo este apartado se puede resolver calculando el trabajo hecho por la grúa como la fuerza por el desplazamiento, teniendo en cuenta que la fuerza que hace la grúa es $-mg$.