Movimiento de cargas: fuerza de Lorentz

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

0,75 p. La fuerza magnética se expresa como:$$\vec F_m = q\,\vec v\times\vec B$$

Según el dibujo, podemos comprobar que el campo magnético y la velocidad son perpendiculares: el campo magnético es perpendicular al plano horizontal, mientras que la velocidad está contenida en el plano horizontal; por tanto, el módulo del producto vectorial es:$$F_m = qvB$$

Por otra parte, $\vec F_m$ es el resultado del producto vectorial y, por tanto, es perpendicular a $\vec B$ y a $\vec v$. Como es perpendicular a $\vec B$, $\vec F_m$ se encuentra en el plano horizontal y, como es perpendicular a $\vec v$, entonces es perpendicular a la trayectoria; por esta razón, las partículas dentro de los electrodos describen un movimiento circular uniforme, MCU.

Además, según la regla de la mano derecha y teniendo en cuenta que la carga es positiva, la fuerza magnética va dirigida hacia el centro de los semicírculos.

Por tanto, la fuerza magnética es igual a la masa por la aceleración normal:$$F_m = qvB = m\,\frac{v^2}{r}$$Y, finalmente, si agrupamos los términos:$$\frac{v}{rB} = \frac{q}{m} \;\Rightarrow\; v = rB\,\frac{q}{m}$$Si en la deducción no se justifica a partir de las direcciones de los vectores que el producto vectorial da $F_m = qvB$, hay que restar 0,25 puntos.

Si tampoco se justifica que la fuerza magnética es normal a la trayectoria, hay que restar 0,25 puntos.

0,25 p. Dentro de una D recorre una distancia igual a media circunferencia de radio $r$: $\pi r$. Y, como se mueve a una velocidad constante $v = rB\,\dfrac{q}{m}$, el tiempo que tarda en pasar por una D es:$$t = \frac{\pi r}{v}$$Por otra parte, antes hemos encontrado:$$v = rB\,\frac{q}{m}$$Y, sustituyendo, obtenemos:$$t = \pi\,\frac{m}{Bq}$$De la última expresión podemos comprobar que el tiempo solo depende de $m$, $B$ y $q$: no depende de la velocidad de la partícula.

0,15 p. Para que en el espacio entre electrodos la partícula se acelere, es necesario que el campo eléctrico sea paralelo a la velocidad. Por tanto, el campo eléctrico debe cambiar de polaridad, tal como se indica en la figura del enunciado. Es decir, es necesario que el campo eléctrico sea alterno.

0,1 p. En cada ciclo, la partícula pasa por las dos D; por tanto, el tiempo que tarda la partícula en pasar por un electrodo corresponde a medio periodo del ciclo:$$T = 2\pi\,\frac{m}{Bq} \;\Rightarrow\; f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi}\,\frac{qB}{m}$$b)

0,45 p. Antes hemos encontrado:$$v = rB\,\frac{q}{m}$$Como el protón sale cuando llega al extremo del electrodo:$$v = RB\,\frac{q}{m} = 0{,}5\times 0{,}2\,\frac{1{,}602\times 10^{-19}}{1{,}67\times 10^{-27}} = 9{,}59\times 10^{6}\ \text{m/s}$$0,4 p.$$\lambda = \frac{h}{mv} = \frac{6{,}63\times 10^{-34}}{1{,}67\times 10^{-27}\times 9{,}59\times 10^{6}} = 4{,}14\times 10^{-14}\ \text{m}$$0,4 p. La velocidad es $0{,}1\times c = 3{,}00\times 10^{7}\ \text{m/s}$$$R = \frac{v}{B}\,\frac{m}{q} = \frac{3{,}00\times 10^{7}}{0{,}2}\,\frac{1{,}67\times 10^{-27}}{1{,}602\times 10^{-19}} = 1{,}56\ \text{m}$$