El movimiento de una anguila se puede aproximar al de una onda armónica transversal que se propaga desde la cabeza hasta la cola. Para estudiar su movimiento debemos simplificar: no consideramos la aportación al movimiento del resto de músculos del cuerpo y suponemos, simplemente, que la onda se genera en la cabeza de la anguila, que vibra con una frecuencia de 0,50Hz y con una amplitud de 5,00cm. La distancia entre dos puntos consecutivos del cuerpo de la anguila que están en el mismo estado de vibración es de 20,0cm.La anguila como una onda transversal a lo largo del eje x, con la cabeza en el origena) (1,25 puntos) Calcule la velocidad a la que se propaga la onda por el cuerpo de la anguila, la frecuencia angular y el número de onda. Si en el instante inicial la cabeza tiene una elongación cero y la velocidad de oscilación transversal es positiva, determine la expresión de la ecuación de onda. Para la ecuación de onda utilice el sistema de coordenadas de la figura superior, donde la cabeza de la anguila se encuentra siempre en el origen de abscisas. b) (1,25 puntos) A partir de la ecuación de onda, deduzca y calcule los módulos de la velocidad y de la aceleración máximas de la oscilación transversal. Si la longitud total de la anguila es de 58,0cm, calcule también la velocidad y la aceleración transversales en la cola 10 s después de haber iniciado el movimiento.
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Resultado
v=0,1m/sω=πrad/sk=10πm−1y(x,t)=0,05sin[10πx−πt+π](SI)vmaˊx=0,157m/samaˊx=0,493m/s2En la cola: 0,127m/s y −0,290m/s2
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Solución oficial
Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.
a) 0,1 p. La distancia entre dos puntos consecutivos que están en el mismo estado de vibración es la longitud de onda: λ=0,20m 0,1 p.v=λf=0,2⋅0,5=0,1m/s 0,1 p. La frecuencia angular se expresa como: ω=2πf=πrad/s=3,14rad/s 0,1 p. El número de onda se expresa como: k=λ2π=10πm−1=31,4m−1 0,85 p. La ecuación de onda se expresa como: y(x,t)=A⋅sin[kx−ωt+φ0]v(x,t)=dtdy(x,t)=−Aω⋅cos[kx−ωt+φ0]Condición inicial: y(0,0)=0⟹sin[φ0]=0⟹φ0=0rad oπrad v(0,0)=−Aω⋅cos[φ0]⟹ con φ0=0 rad, v(0,0)<0: no es la correcta; con φ0=π rad, v(0,0)>0: es la correcta. Y, finalmente:y(x,t)=0,05⋅sin[10πx−πt+π],yyxen m yten sTambién se puede expresar como: y(x,t)=0,05⋅sin[πt−10πx], con y y x en m y t en s. Si no se analiza la condición de posición inicial nula, hay que restar 0,25 p. Si no se analiza la condición de velocidad inicial positiva, hay que restar 0,25 p. Alternativamente:y(x,t)=A⋅cos[kx−ωt+φ0]v(x,t)=dtdy(x,t)=Aω⋅sin[kx−ωt+φ0]Condición inicial: y(0,0)=0⟹cos[φ0]=0⟹φ0=π/2rad o−π/2rad v(0,0)=Aω⋅sin[φ0]⟹ con φ0=2π rad, v(0,0)>0: es la correcta; con φ0=−2π rad, v(0,0)<0: no es la correcta. Y, finalmente:y(x,t)=0,05⋅cos[10πx−πt+π/2],yyxen m yten sTambién se puede expresar como: y(x,t)=0,05⋅cos[πt−10πx−π/2], con y y x en m y t en s. Aunque no esté descrito en estas pautas, también se deben considerar como correctas las resoluciones basadas en expresiones válidas de la fase del tipo: ωt−kx+φ0,k(x−vt)+φ0,2π(λx−Tt)+φ0, … b) 0,35 p.v(x,t)=dtdy(x,t)=−Aω⋅cos[kx−ωt+φ0]La velocidad es máxima en módulo cuando cos[kx−ωt+φ0]=±1:vmaˊx=Aω=0,05⋅π=0,157m/s0,3 p.a(x,t)=dtdv(x,t)=−Aω2⋅sin[kx−ωt+φ0]La aceleración es máxima en módulo cuando sin[kx−ωt+φ0]=±1:amaˊx=Aω2=0,05⋅(π)2=0,493m/s2En el enunciado se pide que se determinen estos valores a partir de la ecuación de ondas; por tanto, no se considerará correcto que el estudiante dé directamente las expresiones de la velocidad y la aceleración: hace falta que las determine a partir de la primera y la segunda derivadas. 0,3 p.v(0,58,10)=−0,157⋅cos[10π⋅0,58−π⋅10+π]=0,127m/s 0,3 p.a(0,58,10)=−0,493⋅sin[10π⋅0,58−π⋅10+π]=−0,290m/s2
