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Campo y potencial gravitatorio

También trata: Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Cataluña · 2022 · Junio

Enunciado

a) (1,25 puntos) Un satélite describe una trayectoria circular de radio

R

alrededor de una masa central. El tiempo que tarda en dar una vuelta entera es

T

. Deduzca la expresión para calcular la intensidad del campo gravitatorio,

g

, creado por la masa central en los puntos de la órbita del satélite en función de los parámetros

R

T

. Considere que la Luna describe una órbita circular alrededor de la Tierra con una distancia entre centros de

384\times 10^{6}\ \text{m}

y con un periodo de

27{,}3

días. Haciendo uso solo de estos dos datos y de la expresión encontrada anteriormente, calcule la intensidad del campo gravitatorio en los puntos de la órbita de la Luna.

b) (1,25 puntos) Deduzca la expresión de la energía cinética mínima necesaria para que un cohete de masa

m

pueda escapar de un objeto astronómico de masa

M

y radio

R

. ¿Cuántas veces mayor es la energía cinética mínima para que el cohete pueda escapar de la Tierra respecto de la energía mínima que necesita para escapar de la Luna? (Solo puede utilizar los datos que se dan a continuación).

Datos:

M_{Tierra} = 81{,}3\,M_{Luna}

R_{Tierra} = 3{,}67\,R_{Luna}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;g = \frac{4\pi^2}{T^2}\,R = 2{,}72\times 10^{-3}\ \text{m/s}^2\;}

\boxed{\;E_C = G\,\frac{Mm}{R}\;}\qquad \boxed{\;\frac{E_C(\text{Tierra})}{E_C(\text{Luna})} = 22{,}1\;}

Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

0,25 p. A partir de la intensidad del campo gravitatorio obtenemos el módulo de la fuerza gravitatoria:

F_g = mg

0,2 p. Y la segunda ley de Newton establece que:

\vec F = m\vec a

0,2 p. Como sobre el satélite solo actúa la fuerza de la gravedad:

a = g

0,2 p. Por otra parte, considerando que el satélite describe un movimiento circular uniforme alrededor de la Tierra, su aceleración centrípeta es:

a = \dfrac{v^2}{R}

a = \omega^2 R

También se debe considerar correcto que directamente se exprese

mg = ma = m\dfrac{v^2}{R}

mg = ma = m\omega^2 R

0,2 p. Por tanto,

g = R\omega^2 = R\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = \frac{4\pi^2}{T^2}\,R

0,2 p.

g = \frac{4\pi^2}{T^2}\,R = \frac{4\pi^2}{(27{,}3\cdot 24\cdot 60\cdot 60)^2}\,384\times 10^{6} = 2{,}72\times 10^{-3}\ \text{m/s}^2

b)

0,2 p. Como el campo gravitatorio es conservativo, la energía mecánica en la superficie de un planeta o de un satélite es igual a la energía mecánica en el infinito.

0,2 p. Por otra parte, la energía mecánica mínima en el infinito corresponde a una energía cinética nula, es decir, la energía mecánica mínima para poder escapar de un objeto astronómico es cero,