Campo magnético creado por corrientes

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

0,4 p. Primero determinaremos la dirección y el sentido del campo magnético creado por el hilo (1). Sabemos que las líneas de campo son circunferencias en el plano $xy$ centradas en el hilo, y el sentido se determina con la mano derecha poniendo el dedo pulgar en el mismo sentido que la corriente, como se indica en la figura.

Como el campo magnético es tangente a las líneas y tiene el mismo sentido, el campo magnético creado por el hilo (1) tiene la dirección y el sentido indicados en la figura. Observe que, como es tangente a la circunferencia, es perpendicular al radio. Este campo magnético tiene dos componentes según los ejes $x$ e $y$ o, lo que es equivalente, forma un cierto ángulo $\alpha$ con el eje $y$.

0,4 p. Siguiendo el mismo razonamiento anterior y volviendo a aplicar la regla de la mano derecha, se ve inmediatamente que el sentido y la dirección del campo magnético creado por el hilo 2 en el punto P son los indicados en la figura adjunta.

0,2 p. Los módulos de los campos $B_1$ y $B_2$ son iguales, dado que la corriente que circula por los dos hilos es la misma y el punto es equidistante de los dos hilos.

0,25 p. Además, como el punto P es equidistante de los dos cables, por simetría los vectores $\vec B_1$ y $\vec B_2$ forman el mismo ángulo $\alpha$ respecto al eje $y$ y, como $|B_y| = B\cos(\alpha)$, entonces $|B_{y,1}| = |B_{y,1}|$. Además, del análisis anterior de la dirección y el sentido de los campos $\vec B_1$ y $\vec B_2$, tenemos que $B_{y,2} = -B_{y,1}$. En cambio, las dos componentes en el eje de las $x$ son positivas. Por tanto, cuando hacemos la suma vectorial, las componentes en la dirección $y$ se anulan mutuamente, de manera que solo nos queda la suma de las componentes en la dirección $x$:

b)

0,4 p. Primero calcularemos la magnitud del campo magnético:$$B_1 = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} = \frac{4\pi\times 10^{-7}\cdot 1{,}5}{2\pi\cdot 0{,}16} = 1{,}875\times 10^{-6}\ \text{T}$$0,25 p. Si aplicamos la regla de la mano derecha, el campo magnético va dirigido según el eje $x$ y en la dirección positiva:$$\vec B_1 = 1{,}875\times 10^{-6}\,\vec\imath\ \text{T}$$0,35 p. A continuación, calcularemos el módulo de la fuerza:$$\vec F_m = I\,(\vec l\times\vec B_1)$$El campo magnético va dirigido según el eje $x$, mientras que $\vec l$ va dirigido según el eje $z$; por tanto, son perpendiculares y el módulo de la fuerza por unidad de longitud será:$$F_m = I l B_1 \;\Rightarrow\; \frac{F_m}{l} = I B_1 = 2{,}81\times 10^{-6}\ \text{N/m}$$También se considerará correcto que se dé como resultado la fuerza aplicada sobre un metro de hilo:$$F_m = I l B_1 = 1{,}5\ \text{A}\cdot 1\ \text{m}\cdot 1{,}875\times 10^{-6}\ \text{T} = 2{,}81\times 10^{-6}\ \text{N}$$0,25 p. Finalmente, la dirección de $\vec F_m$ es perpendicular tanto a $\vec l$, eje $z$, como a $\vec B_1$, eje $x$; por tanto, $\vec F_m$ va dirigida según el eje $y$. El sentido lo determinamos a partir de la regla de la mano derecha:$$\frac{\vec F_m}{l} = 2{,}81\times 10^{-6}\,\vec\jmath\ \text{N/m}$$