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Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Cataluña · 2022 · Septiembre

Enunciado

En marzo de 2021 se lanzó al espacio el primer nanosatélite de la Generalitat de Catalunya. Los nanosatélites tienen como función mejorar las comunicaciones, controlar los caudales de los cursos de agua y prevenir incendios. También contribuyen a la investigación y a la realización de misiones espaciales más ágiles y económicas. Estos nanosatélites suelen orbitar a unos

500\ \text{km}

de altura (distancia respecto a la superficie de la Tierra).

a) (1,25 puntos) Suponiendo que la órbita de uno de estos nanosatélites es circular, a partir de la ley de la gravitación universal deduzca la expresión de la velocidad orbital en función del radio orbital. Calcule también la velocidad y el periodo orbitales de estos nanosatélites.

b) (1,25 puntos) Partiendo de la ley de la conservación de la energía mecánica (desprecie la fuerza de rozamiento), deduzca la expresión de la velocidad de lanzamiento necesaria para poner en órbita un satélite en función del radio orbital. Calcule la velocidad de lanzamiento necesaria para poner en órbita el nanosatélite a

500\ \text{km}

de altura.

Datos:

G = 6{,}67\times 10^{-11}\ \text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}

M_{Tierra} = 5{,}98\times 10^{24}\ \text{kg}

R_{Tierra} = 6{,}37\times 10^{3}\ \text{km}

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Resultado

\boxed{\;v = \sqrt{G\,\frac{M_T}{r}} = 7620\ \text{m/s}\;}\qquad \boxed{\;T = 5660\ \text{s}\;}

\boxed{\;v_{lanz} = \sqrt{G M_T\left(\frac{2}{R_T} - \frac{1}{r}\right)} = 8200\ \text{m/s}\;}

Ver la solución oficialla corrección de la PAU, con los puntos de cada paso

Solución oficial

Corrección oficial de la PAU de Cataluña (Generalitat de Catalunya), traducida del catalán. Las puntuaciones de cada paso son las de la pauta de corrección.

a)

0,2 p. Según la ley de gravitación universal, el módulo de la fuerza sobre un satélite de masa

m

que orbita alrededor de la Tierra con un radio orbital

r

se expresa como:

F = G\,\frac{m M_T}{r^2}

0,2 p. Y la segunda ley de Newton establece que:

\vec F = m\vec a

0,2 p. Por otra parte, considerando que el satélite describe un movimiento circular uniforme alrededor de la Tierra, su aceleración centrípeta es:

a = \dfrac{v^2}{r}

0,25 p. Como sobre el satélite solo actúa la fuerza de la gravedad:

G\,\frac{m M_T}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r} \;\Rightarrow\; v = \sqrt{G\,\frac{M_T}{r}}

0,2 p. La velocidad orbital del nanosatélite es:

v = \sqrt{G\,\frac{M_T}{r}} = \sqrt{6{,}67\times 10^{-11}\,\frac{5{,}98\times 10^{24}}{6{,}37\times 10^{6} + 500\times 10^{3}}} = 7620\ \text{m/s}

0,2 p. Y el periodo es:

T = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi\,(6{,}37\times 10^{6} + 500\times 10^{3})}{7620} = 5660\ \text{s}

b)

0,4 p. Como el campo gravitatorio es conservativo, la energía mecánica del satélite en la superficie de la Tierra es igual a la energía mecánica en la órbita.

Del apartado anterior sabemos la velocidad orbital: