Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre

a) Combinando la relación de De Broglie con la energía cinética:$$E_c = \frac{p^2}{2m} \quad\Longrightarrow\quad p = \sqrt{2\,m\,E_c} \quad\Longrightarrow\quad \lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2\,m\,E_c}}$$Con la misma energía cinética, $\lambda$ es inversamente proporcional a la raíz de la masa:$$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{m_2}{m_1}} = \sqrt{1836} = 42{,}8$$Tiene mayor longitud de onda la partícula 1, la más ligera, y por un factor considerable: unas $43$ veces.

La explicación física es que, a igualdad de energía cinética, la partícula ligera necesita moverse mucho más deprisa, pero su momento lineal $p = \sqrt{2mE_c}$ resulta aun así menor; y como $\lambda = h/p$, un momento menor significa una longitud de onda mayor. (El factor $1836$ es precisamente la relación entre las masas del protón y el electrón: la partícula 1 es un electrón y la 2 un protón.)

b) i) Del momento lineal se obtiene la energía cinética:$$E_c = \frac{p^2}{2\,m_p} = \frac{(10^{-21})^2}{2\cdot 1{,}67\cdot 10^{-27}} = \frac{10^{-42}}{3{,}34\cdot 10^{-27}}$$$$E_c = 2{,}99\cdot 10^{-16}\ \text{J}$$Como el protón parte del reposo, todo el trabajo eléctrico se convierte en energía cinética:$$e\,\Delta V = E_c \quad\Longrightarrow\quad \Delta V = \frac{2{,}99\cdot 10^{-16}}{1{,}6\cdot 10^{-19}}$$$$\Delta V = 1{,}87\cdot 10^{3}\ \text{V}$$b) ii) Ahora el dato es la longitud de onda; primero el momento lineal:$$p = \frac{h}{\lambda} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{5\cdot 10^{-13}} = 1{,}326\cdot 10^{-21}\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}$$Energía cinética:$$E_c = \frac{p^2}{2\,m_p} = \frac{(1{,}326\cdot 10^{-21})^2}{3{,}34\cdot 10^{-27}} = 5{,}26\cdot 10^{-16}\ \text{J}$$Diferencia de potencial:$$\Delta V = \frac{E_c}{e} = \frac{5{,}26\cdot 10^{-16}}{1{,}6\cdot 10^{-19}}$$$$\Delta V = 3{,}29\cdot 10^{3}\ \text{V}$$