FísicaMedioProblema · 2,5 pts

Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre

Andalucía · 2022 · Julio · Opción A

Enunciado

a) Dos partículas distintas

1

2

tienen la misma longitud de onda de De Broglie. Si

m_1 = 2\,m_2

, calcule razonadamente: i) la relación entre sus velocidades y ii) la relación entre sus energías cinéticas.

b) Un coche de

2000\,\text{kg}

de masa y un átomo de helio (

^{4}_{2}\text{He}

) se mueven a

20\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

. i) Calcule la longitud de onda de De Broglie del coche y del átomo de helio. ii) Si un instrumento de laboratorio sólo puede medir longitudes de onda mayores a

5\cdot 10^{-11}\,\text{m}

, comente razonadamente si es posible medir la longitud de la onda de De Broglie del coche y del átomo de helio.

Datos:

m(^{4}_{2}\text{He}) = 4{,}002603\,\text{u}

;

1\,\text{u} = 1{,}66\cdot 10^{-27}\,\text{kg}

;

h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;v_2 = 2\,v_1 \qquad E_{c,2} = 2\,E_{c,1}\;}

\boxed{\;\lambda_{\text{coche}} = 1{,}66\cdot 10^{-38}\ \text{m (no medible)}\qquad \lambda_{\text{He}} = 4{,}99\cdot 10^{-9}\ \text{m (sí medible)}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) "misma longitud de onda" significa mismo momento lineal, y a partir de ahí todo sale de

p = mv

E_c = p^2/2m

: la velocidad es inversamente proporcional a la masa y la energía cinética también.

El apartado b) es la razón de que no veamos efectos cuánticos en la vida cotidiana: la longitud de onda del coche sale absurdamente pequeña. Conviene comparar los dos órdenes de magnitud explícitamente.

Desarrollo

a) La longitud de onda de De Broglie es

\lambda = h/p

. Que ambas partículas tengan la misma

\lambda

equivale a que tengan el mismo momento lineal:

p_1 = p_2 \quad\Longrightarrow\quad m_1\,v_1 = m_2\,v_2

i) Despejando y usando

m_1 = 2\,m_2

\frac{v_1}{v_2} = \frac{m_2}{m_1} = \frac{1}{2} \qquad\Longrightarrow\qquad v_2 = 2\,v_1

La partícula más ligera (la 2) se mueve al doble de velocidad.

ii) Con el mismo momento lineal conviene escribir la energía cinética como

E_c = p^2/2m

\frac{E_{c,1}}{E_{c,2}} = \frac{p^2/(2m_1)}{p^2/(2m_2)} = \frac{m_2}{m_1} = \frac{1}{2}

E_{c,2} = 2\,E_{c,1}

La partícula más ligera tiene también el doble de energía cinética.

b) i) Coche (

m = 2000\,\text{kg}

v = 20\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

\lambda_{\text{coche}} = \frac{h}{m\,v} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{2000\cdot 20} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{4\cdot 10^{4}}

\lambda_{\text{coche}} = 1{,}66\cdot 10^{-38}\ \text{m}

Átomo de helio. Primero su masa en kilogramos:

m_{\text{He}} = 4{,}002603\cdot 1{,}66\cdot 10^{-27} = 6{,}64\cdot 10^{-27}\ \text{kg}

\lambda_{\text{He}} = \frac{h}{m_{\text{He}}\,v} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{6{,}64\cdot 10^{-27}\cdot 20} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{1{,}33\cdot 10^{-25}}

\lambda_{\text{He}} = 4{,}99\cdot 10^{-9}\ \text{m}

b) ii) Comparamos cada una con el límite del instrumento,

5\cdot 10^{-11}\,\text{m}

Coche: $\lambda_{\text{coche}} = 1{,}66\cdot 10^{-38}\,\text{m}$ , unas $10^{27}$ veces menor que el límite. No es medible, ni con ese instrumento ni con ninguno: es una longitud inimaginablemente pequeña, muchísimo menor que el tamaño de un núcleo atómico ( $\sim 10^{-15}\,\text{m}$ ). Por eso los objetos macroscópicos no manifiestan comportamiento ondulatorio.

Átomo de helio: $\lambda_{\text{He}} = 4{,}99\cdot 10^{-9}\,\text{m}$ , unas $100$ veces mayor que el límite. Sí es medible.

La comparación ilustra el papel de la masa en la relación de De Broglie: la longitud de onda solo es apreciable para partículas de masa muy pequeña.

Consejo

"Misma longitud de onda" es "mismo momento lineal", no misma velocidad. A partir de ahí, tanto $v$ como $E_c$ resultan inversamente proporcionales a la masa.

Y no olvides pasar la masa del helio de unidades de masa atómica a kilogramos antes de dividir: sin ese paso la longitud de onda sale $10^{27}$ veces menor.