Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre

a) i) La misma velocidad. El momento lineal es $p = m\,v$, luego$$\lambda = \frac{h}{m\,v} \quad\Longrightarrow\quad \lambda \propto \frac{1}{m}$$Como $m_e \ll m_p$ (unas $1836$ veces menor), el electrón tiene la longitud de onda mayor, y por ese mismo factor $1836$.

a) ii) El mismo momento lineal. Ahora$$\lambda = \frac{h}{p}$$y la masa no interviene en absoluto. Al ser $p$ el mismo para ambos:$$\lambda_e = \lambda_p$$Las dos partículas tienen la misma longitud de onda. (Sus velocidades y energías cinéticas serán muy distintas, pero eso no afecta a $\lambda$.)

b) Energía del fotón:$$E = h\,f = 6{,}63\cdot 10^{-34}\cdot 4{,}5\cdot 10^{9} = 2{,}98\cdot 10^{-24}\ \text{J}$$y su longitud de onda:$$\lambda = \frac{c}{f} = \frac{3\cdot 10^{8}}{4{,}5\cdot 10^{9}} = 6{,}67\cdot 10^{-2}\ \text{m}$$(es una microonda: $6{,}7\,\text{cm}$).

b) i) Electrón con la misma energía cinética que el fotón. Imponemos $E_c = E$:$$\tfrac{1}{2}m_e v^2 = 2{,}98\cdot 10^{-24}\ \text{J}$$$$v = \sqrt{\frac{2\cdot 2{,}98\cdot 10^{-24}}{9{,}11\cdot 10^{-31}}} = \sqrt{6{,}55\cdot 10^{6}}$$$$v = 2{,}56\cdot 10^{3}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$b) ii) Electrón con la misma longitud de onda que el fotón. Ahora la condición es sobre $\lambda$, es decir, sobre el momento lineal:$$\lambda = \frac{h}{m_e\,v} \quad\Longrightarrow\quad v = \frac{h}{m_e\,\lambda} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{9{,}11\cdot 10^{-31}\cdot 6{,}67\cdot 10^{-2}}$$$$v = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{6{,}07\cdot 10^{-32}} = 1{,}09\cdot 10^{-2}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}$$Apenas un centímetro por segundo. La diferencia con el apartado anterior es enorme —cinco órdenes de magnitud— y muestra que igualar energías e igualar longitudes de onda son condiciones completamente distintas: para tener una longitud de onda tan grande ($6{,}7\,\text{cm}$), el electrón necesita un momento lineal minúsculo y, por tanto, moverse lentísimo.