FísicaMedioProblema · 2 pts

Problema resuelto de Física: Radiactividad y desintegraciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2021 · Junio

Enunciado

a) Define periodo de semidesintegración. A la vista de la figura, calcula el periodo de semidesintegración del

{}^{56}\text{Ni}

y razona si es mayor o menor que el del

{}^{131}\text{Cs}

. ¿Qué tiempo debe pasar para que el número de núcleos de

{}^{131}\text{Cs}

disminuya un 75%? (1 punto)

b) Si la masa inicial de

{}^{56}\text{Ni}

es de

10^{-3}\,\text{pg}

, determina el número de núcleos que quedan sin desintegrar a los 15 días. (1 punto)

Gráfica de la actividad en becquerelios (de 0 a 70 Bq) frente al tiempo en días (de 0 a 40). La curva discontinua del níquel-56 empieza en 40 Bq y baja deprisa: vale 20 Bq a los 6 días. La curva continua del cesio-131 empieza en 60 Bq y baja más despacio: vale 30 Bq a los 10 días y 15 Bq a los 20 días.

Dato: masa de un núcleo de

{}^{56}\text{Ni}

93\cdot10^{-24}\,\text{g}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

T_{1/2}

es el tiempo en que se desintegran la mitad de los núcleos. De la gráfica,

T_{1/2}(\text{Ni}) = 6\,\text{días}

, menor que

T_{1/2}(\text{Cs}) = 10\,\text{días}

. Para que el cesio disminuya un 75 % deben pasar

2\,T_{1/2} = 20\,\text{días}

.

b)

N_0 = 1{,}08\cdot10^{7}

núcleos; a los 15 días quedan

N = N_0\,e^{-\lambda t} = 1{,}90\cdot10^{6}

núcleos sin desintegrar.

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La actividad es proporcional al número de núcleos,

A = \lambda N

, así que también se reduce a la mitad en cada periodo de semidesintegración. Basta con leer en la gráfica cuándo cae cada curva a la mitad de su valor inicial. Que el número de núcleos disminuya un 75 % quiere decir que queda la cuarta parte: dos periodos. En b) pasamos la masa a número de núcleos y aplicamos la ley de desintegración exponencial.

Desarrollo

a) Definición. El periodo de semidesintegración

T_{1/2}

es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de los núcleos de una muestra radiactiva. Se relaciona con la constante de desintegración por

T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}

Lectura de la gráfica. Como

A = \lambda N

, la actividad también se reduce a la mitad en cada

T_{1/2}

Níquel-56: empieza en $40\,\text{Bq}$ y llega a $20\,\text{Bq}$ a los 6 días: $T_{1/2}(\text{Ni}) = 6\,\text{días}$ .
Cesio-131: empieza en $60\,\text{Bq}$ y llega a $30\,\text{Bq}$ a los 10 días: $T_{1/2}(\text{Cs}) = 10\,\text{días}$ .

El periodo del

{}^{56}\text{Ni}

es menor que el del

{}^{131}\text{Cs}

: su curva cae a la mitad antes (se desintegra más deprisa, tiene mayor

\lambda

).

Reducción del 75 % del cesio. Si el número de núcleos disminuye un 75 %, queda el 25 %:

\frac{N}{N_0} = \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T_{1/2}}\quad\Longrightarrow\quad \frac{t}{T_{1/2}} = 2\quad\Longrightarrow\quad t = 2\,T_{1/2} = 20\,\text{días}

La gráfica lo confirma: a los 20 días el cesio tiene

15\,\text{Bq}

, la cuarta parte de 60.

b) Número inicial de núcleos.

10^{-3}\,\text{pg} = 10^{-3}\cdot10^{-12}\,\text{g} = 10^{-15}\,\text{g}

N_0 = \frac{m_0}{m_{\text{núcleo}}} = \frac{10^{-15}\,\text{g}}{93\cdot10^{-24}\,\text{g}} = 1{,}08\cdot10^{7}\ \text{núcleos}

Ley de desintegración.

N = N_0\,e^{-\lambda t},\qquad \lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{\ln 2}{6\,\text{días}} = 0{,}116\,\text{días}^{-1}

Cálculo a los 15 días.

N = 1{,}08\cdot10^{7}\cdot e^{-0{,}116\cdot 15} = 1{,}08\cdot10^{7}\cdot e^{-1{,}73} = 1{,}90\cdot10^{6}\ \text{núcleos}

Es lo mismo que

N = N_0/2^{15/6} = N_0/2^{2{,}5}

: han pasado dos periodos y medio.

Consejo

«Disminuye un 75 %» no es «queda el 75 %»: queda la cuarta parte. Lee dos veces ese tipo de frases antes de plantear.

En b) cuidado con el picogramo: $1\,\text{pg} = 10^{-12}\,\text{g}$ . Y explica por qué puedes leer el periodo en una gráfica de actividad ( $A = \lambda N$ ): es justo lo que busca el corrector cuando pide «a la vista de la figura».