FísicaMedioProblema · 2 pts

Problema resuelto de Física: Campo y potencial eléctricoSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2021 · Junio

Enunciado

Sean dos cargas puntuales de valores

q_1 = 2\,\mu\text{C}

q_2 = -1{,}6\,\mu\text{C}

situadas en los puntos

\text{A}(0,0)\,\text{m}

\text{B}(0,3)\,\text{m}

, respectivamente. Calcula:

a) El vector campo eléctrico creado por cada una de las dos cargas y el vector campo eléctrico total en el punto

\text{C}(4,3)\,\text{m}

. (1 punto)

b) El trabajo que realiza el campo al trasladar una carga

q_3 = -1\,\text{nC}

desde C hasta un punto D donde la energía potencial electrostática de dicha carga vale

-1{,}62\,\mu\text{J}

. (1 punto)

Dato: constante de Coulomb,

k = 9\cdot10^{9}\,\text{N m}^2/\text{C}^2

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\vec E_1 = 576\,\vec\imath + 432\,\vec\jmath\ \text{N/C}

;

\vec E_2 = -900\,\vec\imath\ \text{N/C}

; total

\vec E = -324\,\vec\imath + 432\,\vec\jmath\ \text{N/C}

(

E = 540\,\text{N/C}

).

b)

V_C = 0

V_D = 1620\,\text{V}

; el trabajo del campo es

W_{C\to D} = -\Delta E_p = 1{,}62\cdot10^{-6}\,\text{J} = 1{,}62\,\mu\text{J}

(positivo: lo hace el campo).

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Los tres puntos forman un triángulo rectángulo 3-4-5: C está a 5 m de A y a 4 m de B, justo a su derecha. El campo total es la suma vectorial de los dos campos (superposición); cada uno con su vector unitario, y cuidado con el de la carga negativa, que apunta hacia ella. Para el trabajo no hace falta conocer D: el trabajo del campo es menos la variación de la energía potencial, y la de C sale del potencial en C.

Desarrollo

a) Campo de una carga puntual.

\vec E = k\,\frac{q}{r^2}\,\vec u_r

con

\vec u_r

el unitario que va de la carga al punto.

Campo de $q_1$ en C. De A a C:

\vec r_1 = 4\,\vec\imath + 3\,\vec\jmath\ \text{m}

r_1 = 5\,\text{m}

\vec u_1 = 0{,}8\,\vec\imath + 0{,}6\,\vec\jmath

E_1 = k\,\frac{q_1}{r_1^2} = \frac{9\cdot10^9\cdot 2\cdot10^{-6}}{25} = 720\,\text{N/C}

\vec E_1 = 720\,(0{,}8\,\vec\imath + 0{,}6\,\vec\jmath) = 576\,\vec\imath + 432\,\vec\jmath\ \ \text{N/C}

Campo de $q_2$ en C. De B a C:

\vec r_2 = 4\,\vec\imath\ \text{m}

r_2 = 4\,\text{m}

\vec u_2 = \vec\imath

\vec E_2 = k\,\frac{q_2}{r_2^2}\,\vec u_2 = \frac{9\cdot10^9\cdot(-1{,}6\cdot10^{-6})}{16}\,\vec\imath = -900\,\vec\imath\ \ \text{N/C}

Apunta hacia B, como corresponde a una carga negativa.

Campo total.

\vec E = \vec E_1 + \vec E_2 = (576 - 900)\,\vec\imath + 432\,\vec\jmath = -324\,\vec\imath + 432\,\vec\jmath\ \ \text{N/C}

con módulo

E = \sqrt{324^2 + 432^2} = 540\,\text{N/C}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Potencial en C. El potencial es escalar y se suma sin vectores:

V_C = k\left(\frac{q_1}{r_1} + \frac{q_2}{r_2}\right) = 9\cdot10^9\left(\frac{2\cdot10^{-6}}{5} + \frac{-1{,}6\cdot10^{-6}}{4}\right) = 9\cdot10^9\,(0{,}4\cdot10^{-6} - 0{,}4\cdot10^{-6}) = 0\,\text{V}

Así que la energía potencial de

q_3

en C es

E_{p,C} = q_3\,V_C = 0

.

Potencial en D. De la energía potencial que da el enunciado:

V_D = \frac{E_{p,D}}{q_3} = \frac{-1{,}62\cdot10^{-6}\,\text{J}}{-1\cdot10^{-9}\,\text{C}} = 1620\,\text{V}

Trabajo del campo. La fuerza eléctrica es conservativa:

W_{C\to D} = -\Delta E_p = -(E_{p,D} - E_{p,C}) = q_3\,(V_C - V_D)

W_{C\to D} = -(-1{,}62\cdot10^{-6} - 0) = 1{,}62\cdot10^{-6}\,\text{J}

Comprobación:

q_3\,(V_C - V_D) = (-10^{-9})(0 - 1620) = 1{,}62\cdot10^{-6}\,\text{J}

. El trabajo es positivo: el campo lleva por sí solo la carga negativa hacia potenciales mayores, donde su energía potencial es menor.

Consejo

Que el potencial en C salga exactamente cero no es casualidad: el examen lo ha preparado para que no te líes con D. Confía en el cálculo y sigue.

El corrector puntúa por separado el potencial en D (0,3), el de C (0,4) y el trabajo (0,3): escribe los tres pasos aunque alguno parezca trivial, y cuida los signos de $q_3$ .