FísicaMedioProblema · 2 pts

Problema resuelto de Física: Campo y potencial gravitatorioSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2021 · Junio

También trata: Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Enunciado

La masa del planeta K2-72 es

2{,}21

veces la masa de la Tierra y su radio es

1{,}29

veces el radio de la Tierra.

a) ¿Cuál es el valor de la intensidad de campo gravitatorio en la superficie de K2-72? ¿Cuál es la fuerza gravitatoria que K2-72 ejerce sobre una persona de

70\,\text{kg}

en reposo sobre su superficie? (1 punto)

b) Determina la distancia desde el centro de K2-72 para la cual la intensidad de campo gravitatorio es

0{,}16

veces el valor en su superficie. Deduce y calcula la velocidad que tendría un satélite en órbita circular a dicha distancia. (1 punto)

Datos: campo gravitatorio de la Tierra en su superficie,

g_0 = 9{,}8\,\text{m/s}^2

; radio terrestre,

R_T = 6{,}37\cdot10^{6}\,\text{m}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

g = g_0\,\dfrac{2{,}21}{1{,}29^2} = 13{,}0\,\text{m/s}^2

; la fuerza sobre la persona es

F = mg = 911\,\text{N}

, hacia el centro del planeta.

b)

r = 2{,}5\,R = 2{,}05\cdot10^{7}\,\text{m}

desde el centro. La velocidad orbital es

v = \sqrt{GM/r} = \sqrt{g(r)\,r} = 6{,}54\cdot10^{3}\,\text{m/s}

(unos

6{,}5\,\text{km/s}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

No nos dan

G

ni la masa de la Tierra, pero sí

g_0

: la idea es comparar el planeta con la Tierra dividiendo las dos expresiones de

g = GM/R^2

, y así

G

M_T

se van. En b), como

g

decae con el cuadrado de la distancia, el factor

0{,}16 = 0{,}4^2

dice enseguida a qué distancia estamos. La velocidad orbital sale de igualar la fuerza gravitatoria a la centrípeta, y

GM

lo escribimos como

g\,R^2

para no necesitar

G

Desarrollo

a) Campo en la superficie. En la superficie de un planeta de masa

M

y radio

R

g = \frac{G\,M}{R^2}

Comparación con la Tierra. Con

M = 2{,}21\,M_T

R = 1{,}29\,R_T

\frac{g}{g_0} = \frac{G\,M/R^2}{G\,M_T/R_T^2} = \frac{M}{M_T}\left(\frac{R_T}{R}\right)^2 = \frac{2{,}21}{1{,}29^2}

g = 9{,}8\cdot\frac{2{,}21}{1{,}29^2} = 9{,}8\cdot\frac{2{,}21}{1{,}6641} = 13{,}0\,\text{m/s}^2

Fuerza sobre la persona. Es su peso en K2-72:

F = m\,g = 70\cdot 13{,}0 = 911\,\text{N}

dirigida hacia el centro del planeta.

b) Distancia a la que $g$ es el 16 %. Fuera del planeta,

g(r) = GM/r^2

, así que

\frac{g(r)}{g} = \frac{R^2}{r^2} = 0{,}16\quad\Longrightarrow\quad r = \frac{R}{\sqrt{0{,}16}} = \frac{R}{0{,}4} = 2{,}5\,R

Con

R = 1{,}29\,R_T = 1{,}29\cdot 6{,}37\cdot10^6 = 8{,}22\cdot10^6\,\text{m}

r = 2{,}5\cdot 8{,}22\cdot10^6 = 2{,}05\cdot10^{7}\,\text{m}

Velocidad orbital: deducción. En una órbita circular la fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta:

\frac{G\,M\,m}{r^2} = m\,\frac{v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{G\,M}{r}}

Como

GM = g\,R^2

(de la superficie) o, mejor aún,

GM/r^2 = g(r)

, queda

v = \sqrt{g(r)\,r} = \sqrt{0{,}16\,g\,r}

Cálculo.

v = \sqrt{0{,}16\cdot 13{,}0\cdot 2{,}05\cdot10^{7}} = \sqrt{4{,}28\cdot10^{7}} = 6{,}54\cdot10^{3}\,\text{m/s}

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Cuando no te dan $G$ , divide la expresión del planeta entre la de la Tierra: es el truco que espera el corrector y evita errores con las potencias de diez.

En b) piden «deduce» la velocidad: escribe la igualdad entre fuerza gravitatoria y centrípeta (vale 0,3), no copies directamente $v = \sqrt{GM/r}$ .