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Problema resuelto de Física: Radiactividad y desintegraciónSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2021 · Julio

Enunciado

Tras un episodio de «tormenta seca» o calima, se recoge y analiza una muestra de polvo y se concluye que contiene Cs-137, un isótopo radiactivo asociado a alguna prueba nuclear realizada hace 60 años. La actividad de la muestra, debida exclusivamente al Cs-137, es de

0{,}08\,\text{Bq}

(muy baja). Determina:

a) El número de núcleos y la masa de Cs-137 contenida en la muestra (expresa el resultado en picogramos). (1 punto)

b) La actividad de la muestra hace 60 años, justo tras la prueba nuclear. (1 punto)

Datos: periodo de semidesintegración del Cs-137,

T_{1/2} = 30{,}2\,\text{años}

; masa de un núcleo de Cs-137,

M = 2{,}27\cdot10^{-25}\,\text{kg}

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Resultado

\lambda = 7{,}28\cdot10^{-10}\,\text{s}^{-1}

;

N = A/\lambda = 1{,}10\cdot10^{8}

núcleos;

m = N M = 2{,}50\cdot10^{-17}\,\text{kg} = 0{,}025\,\text{pg}

.

b)

A_0 = A\,e^{\lambda t} = 0{,}317\,\text{Bq}

(hace 60 años).

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

La actividad es el número de desintegraciones por segundo y es proporcional al número de núcleos:

A = \lambda N

. Sacamos la constante de desintegración del periodo (pasándolo a segundos, porque el becquerel es una desintegración por segundo), despejamos

N

y multiplicamos por la masa de un núcleo. Para b) la actividad sigue la misma ley exponencial que el número de núcleos: hacia atrás en el tiempo, la actividad era mayor. Como 60 años son casi dos periodos, esperamos algo menos de cuatro veces la actual.

Desarrollo

a) Constante de desintegración. Pasamos el periodo a segundos (año de 365 días):

T_{1/2} = 30{,}2\cdot365\cdot24\cdot3600 = 9{,}52\cdot10^{8}\,\text{s}

\lambda = \frac{\ln2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{9{,}52\cdot10^{8}} = 7{,}28\cdot10^{-10}\,\text{s}^{-1}

Número de núcleos. La actividad es

A = \lambda\,N

N = \frac{A}{\lambda} = \frac{0{,}08}{7{,}28\cdot10^{-10}} = 1{,}10\cdot10^{8}\ \text{núcleos}

Masa de Cs-137.

m = N\,M = 1{,}10\cdot10^{8}\cdot2{,}27\cdot10^{-25} = 2{,}50\cdot10^{-17}\,\text{kg}

Como

1\,\text{pg} = 10^{-12}\,\text{g} = 10^{-15}\,\text{kg}

m = 2{,}50\cdot10^{-2}\,\text{pg} = 0{,}025\,\text{pg}

b) Ley de desintegración. La actividad decrece igual que el número de núcleos:

A = A_0\,e^{-\lambda t}\quad\Longrightarrow\quad A_0 = A\,e^{\lambda t}

Con

\lambda = \ln2/T_{1/2}

podemos trabajar directamente en años:

\lambda\,t = \frac{\ln2}{T_{1/2}}\,t = \frac{0{,}693}{30{,}2}\cdot60 = 1{,}377

A_0 = 0{,}08\cdot e^{1{,}377} = 0{,}08\cdot3{,}96 = 0{,}317\,\text{Bq}

Equivale a

A_0 = A\cdot2^{t/T_{1/2}} = 0{,}08\cdot2^{1{,}99}

: casi cuatro veces la actual, como se esperaba tras casi dos periodos.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

En $A = \lambda N$ la constante tiene que ir en $\text{s}^{-1}$ , porque el becquerel es una desintegración por segundo: si usas $\lambda$ en años⁻¹ el número de núcleos sale unos $3\cdot10^7$ veces más pequeño.

En b), en cambio, solo importa el producto $\lambda t$ : puedes dejar los dos en años. Y cuidado con el sentido: hacia el pasado la actividad es mayor, $A_0 = A\,e^{+\lambda t}$ .