FísicaMedioProblema · 2 pts

Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2021 · Julio

Comunitat Valenciana · 2021 · Julio
Enunciado
La Estación Espacial Internacional tiene una masa m=4⋅105 kgm = 4\cdot10^{5}\,\text{kg} y describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura sobre su superficie h=400 kmh = 400\,\text{km}.

a) Calcula las energías potencial, cinética y mecánica de la Estación en su movimiento por dicha órbita. (1 punto)

b) Calcula la energía que se debe aportar a la estación para que se sitúe en una órbita en la que su energía mecánica sea E=−2⋅1012 JE = -2\cdot10^{12}\,\text{J}. Calcula su velocidad en dicha órbita. (1 punto)

Datos: constante de gravitación universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot10^{-11}\,\text{N m}^2\,\text{kg}^{-2}; masa de la Tierra, MT=6⋅1024 kgM_T = 6\cdot10^{24}\,\text{kg}; radio de la Tierra, RT=6,4⋅106 mR_T = 6{,}4\cdot10^{6}\,\text{m}.
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Resultado
a) r=6,8⋅106 mr = 6{,}8\cdot10^6\,\text{m}; Ep=−2,35⋅1013 JE_p = -2{,}35\cdot10^{13}\,\text{J}; Ec=1,18⋅1013 JE_c = 1{,}18\cdot10^{13}\,\text{J}; Em=−1,18⋅1013 JE_m = -1{,}18\cdot10^{13}\,\text{J}.

b) Hay que aportar ΔE=9,77⋅1012 J\Delta E = 9{,}77\cdot10^{12}\,\text{J}. En la nueva órbita (r′=4,0⋅107 mr' = 4{,}0\cdot10^{7}\,\text{m}) su velocidad es v′=3,16⋅103 m/sv' = 3{,}16\cdot10^{3}\,\text{m/s}.
Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo
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Estrategia

En una órbita circular la gravedad hace de fuerza centrípeta; de ahí sale la velocidad orbital y, con ella, que la energía cinética es la mitad del valor absoluto de la potencial. La mecánica es la suma, E=−GMm/2rE = -GMm/2r. En b) la energía que hay que aportar es la diferencia entre la energía mecánica final y la inicial (positiva, porque la nueva órbita es más alta). Para la velocidad en la nueva órbita usamos que en una órbita circular Ec=−EE_c = -E.
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Desarrollo

a) Radio de la órbita. Se mide desde el centro de la Tierra:r=RT+h=6,4⋅106+4⋅105=6,8⋅106 mr = R_T + h = 6{,}4\cdot10^6 + 4\cdot10^5 = 6{,}8\cdot10^6\,\text{m}Energía potencial. Con el origen en el infinito:Ep=−G MT mr=−6,67⋅10−11⋅6⋅1024⋅4⋅1056,8⋅106=−2,35⋅1013 JE_p = -\frac{G\,M_T\,m}{r} = -\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot6\cdot10^{24}\cdot4\cdot10^{5}}{6{,}8\cdot10^{6}} = -2{,}35\cdot10^{13}\,\text{J}Energía cinética. La fuerza gravitatoria es la centrípeta:G MT mr2=m v2r⟹v2=G MTr\frac{G\,M_T\,m}{r^2} = \frac{m\,v^2}{r}\quad\Longrightarrow\quad v^2 = \frac{G\,M_T}{r}Ec=12 m v2=G MT m2r=2,35⋅10132=1,18⋅1013 JE_c = \frac12\,m\,v^2 = \frac{G\,M_T\,m}{2r} = \frac{2{,}35\cdot10^{13}}{2} = 1{,}18\cdot10^{13}\,\text{J}Energía mecánica.Em=Ec+Ep=−G MT m2r=−1,18⋅1013 JE_m = E_c + E_p = -\frac{G\,M_T\,m}{2r} = -1{,}18\cdot10^{13}\,\text{J}Es negativa: la estación está ligada a la Tierra.

b) Energía que hay que aportar. Por conservación de la energía, el trabajo que deben hacer los motores es la variación de la energía mecánica:W=ΔEm=Ef−Ei=−2⋅1012−(−1,18⋅1013)=9,77⋅1012 JW = \Delta E_m = E_f - E_i = -2\cdot10^{12} - (-1{,}18\cdot10^{13}) = 9{,}77\cdot10^{12}\,\text{J}Es positiva: la nueva órbita tiene más energía (menos negativa), así que es más alta.

Velocidad en la nueva órbita. En cualquier órbita circular Ec=−EmE_c = -E_m, así que12 m v′2=−Ef⟹v′=−2Efm=2⋅2⋅10124⋅105=107=3,16⋅103 m/s\frac12\,m\,v'^2 = -E_f\quad\Longrightarrow\quad v' = \sqrt{\frac{-2E_f}{m}} = \sqrt{\frac{2\cdot2\cdot10^{12}}{4\cdot10^{5}}} = \sqrt{10^{7}} = 3{,}16\cdot10^{3}\,\text{m/s}Comprobación con el radio. De Ef=−GMTm2r′E_f = -\dfrac{G M_T m}{2r'} sale r′=−GMTm2Ef=4,0⋅107 mr' = -\dfrac{G M_T m}{2E_f} = 4{,}0\cdot10^{7}\,\text{m}, y v′=GMT/r′=3,16⋅103 m/sv' = \sqrt{G M_T/r'} = 3{,}16\cdot10^{3}\,\text{m/s}: lo mismo. La órbita es más alta y la estación va más despacio.
Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)
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Consejo

Recuerda sumar la altura al radio terrestre: con r=400 kmr = 400\,\text{km} todo sale mal. Y razona la energía cinética desde la igualdad entre fuerza gravitatoria y centrípeta, que el corrector puntúa como «cálculo razonado».

En b) la velocidad sale directa de Ec=−EmE_c = -E_m, sin calcular el radio; si lo calculas, te sirve para comprobar.
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