FísicaMedioCuestión · 1,5 pts

Problema resuelto de Física: Campo y potencial eléctricoSelectividad (PAU) · Comunitat Valenciana 2021 · Julio

Enunciado

Cuatro cargas puntuales están situadas en los vértices

A

B

C

D

de un cuadrado de

2\,\text{m}

de lado, como se indica en la figura. Si

q = \sqrt2/2\,\text{nC}

, calcula y representa los vectores campo eléctrico generados por cada una de las cargas y el total, en el centro del cuadrado, punto

O

Cuadrado de 2 m de lado con A abajo a la izquierda, B arriba a la izquierda, C arriba a la derecha y D abajo a la derecha; en A y B hay una carga q, en C y D una carga −q, y O es el centro

Dato: constante de Coulomb,

k = 9\cdot10^{9}\,\text{N m}^2/\text{C}^2

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Resultado

Cada carga crea en $O$ un campo de módulo $9\sqrt2/4 = 3{,}18\,\text{N/C}$ .
$\vec E_A = \vec E_C = 2{,}25\,(\vec\imath+\vec\jmath)\,\text{N/C}$ (hacia $C$ ); $\vec E_B = \vec E_D = 2{,}25\,(\vec\imath-\vec\jmath)\,\text{N/C}$ (hacia $D$ ).
Total: $\vec E = 9\,\vec\imath\ \text{N/C}$ , horizontal, del lado de $A$ y $B$ hacia el de $C$ y $D$ .

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Las cuatro cargas están a la misma distancia del centro (media diagonal) y tienen el mismo valor absoluto, así que sus campos en

O

tienen el mismo módulo; solo cambia la dirección. Las positivas (

A

B

) crean un campo que se aleja de ellas; las negativas (

C

D

), uno que apunta hacia ellas. Ponemos ejes, escribimos cada vector con su unitario y sumamos (principio de superposición). Ya se intuye que las componentes verticales se cancelan y todo queda hacia la derecha.

Desarrollo

Ejes y distancias. Tomamos el origen en

A

A(0,0)

B(0,2)

C(2,2)

D(2,0)

O(1,1)

, en metros. Cada vértice está a media diagonal del centro:

r = \frac{\sqrt{2^2+2^2}}{2} = \sqrt2\,\text{m}\qquad r^2 = 2\,\text{m}^2

Módulo del campo de cada carga. Para una carga puntual,

E = k\,|q|/r^2

, igual para las cuatro:

E_A = E_B = E_C = E_D = \frac{k\,|q|}{r^2} = \frac{9\cdot10^9\cdot\frac{\sqrt2}{2}\cdot10^{-9}}{2} = \frac{9\sqrt2}{4} = 3{,}18\,\text{N/C}

Al proyectar sobre los ejes a

45^\circ

, cada componente vale

E\cos45^\circ = \dfrac{9\sqrt2}{4}\cdot\dfrac{\sqrt2}{2} = 2{,}25\,\text{N/C}

.

Campo de cada carga en $O$ . Con

\vec E = k\,\dfrac{q}{r^2}\,\vec u_r

, siendo

\vec u_r

el unitario de la carga al punto:

$A$ ( $+q$ ): $\vec u = \dfrac{\vec\imath+\vec\jmath}{\sqrt2}$ , se aleja de $A$ : $\vec E_A = 2{,}25\,\vec\imath + 2{,}25\,\vec\jmath\ \ \text{N/C}$
$B$ ( $+q$ ): $\vec u = \dfrac{\vec\imath-\vec\jmath}{\sqrt2}$ , se aleja de $B$ : $\vec E_B = 2{,}25\,\vec\imath - 2{,}25\,\vec\jmath\ \ \text{N/C}$
$C$ ( $-q$ ): apunta hacia $C$ , en el sentido $\dfrac{\vec\imath+\vec\jmath}{\sqrt2}$ : $\vec E_C = 2{,}25\,\vec\imath + 2{,}25\,\vec\jmath\ \ \text{N/C}$
$D$ ( $-q$ ): apunta hacia $D$ , en el sentido $\dfrac{\vec\imath-\vec\jmath}{\sqrt2}$ : $\vec E_D = 2{,}25\,\vec\imath - 2{,}25\,\vec\jmath\ \ \text{N/C}$

Campo total (superposición).

\vec E = \vec E_A + \vec E_B + \vec E_C + \vec E_D = 4\cdot2{,}25\,\vec\imath + (2{,}25-2{,}25+2{,}25-2{,}25)\,\vec\jmath = 9\,\vec\imath\ \ \text{N/C}

Representación. En

O

se dibujan cuatro flechas iguales:

\vec E_A

\vec E_C

en la misma dirección, hacia

C

(arriba a la derecha);

\vec E_B

\vec E_D

también juntas, hacia

D

(abajo a la derecha). La resultante, de

9\,\text{N/C}

, es horizontal y apunta hacia la derecha, del lado de las positivas al de las negativas.

Cuadrado de 2 m con q en A, abajo a la izquierda, y en B, arriba a la izquierda, y −q en C, arriba a la derecha, y en D, abajo a la derecha. En el centro O los campos de A y C apuntan juntos hacia C, los de B y D juntos hacia D, y el total es horizontal hacia la derecha

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Consejo

Fíjate en que $C$ y $D$ son negativas: su campo apunta hacia ellas, por eso $\vec E_C$ tiene el mismo sentido que $\vec E_A$ y no el contrario. Es el error más habitual aquí.

La representación vale 0,3 puntos: dibuja las cuatro flechas en $O$ y la resultante, con los ejes que hayas elegido.