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Problema resuelto de Física: Movimiento armónico simpleSelectividad (PAU) · País Vasco 2021 · Junio

Enunciado

Movimiento armónico simple. Ejemplos. Ecuación. Definición de las magnitudes. Ecuación de la velocidad y de la aceleración.

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Resultado

MAS: oscilación periódica producida por una fuerza recuperadora

F = -kx

(muelle, péndulo con oscilaciones pequeñas, diapasón).

x = A\sin(\omega t + \varphi_0)

, con amplitud

A

, pulsación

\omega = 2\pi/T = 2\pi f

, fase y fase inicial.

v = A\omega\cos(\omega t + \varphi_0)

;

a = -A\omega^2\sin(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2 x

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

El propio enunciado es el guion de la respuesta: qué es un MAS (con la fuerza recuperadora proporcional al desplazamiento), algunos ejemplos reales, la ecuación

x(t)

, qué significa cada magnitud con sus unidades y las expresiones de la velocidad y la aceleración, obtenidas derivando. Conviene terminar con la relación

a = -\omega^2 x

, que es lo que caracteriza al MAS.

Desarrollo

Definición. Un movimiento armónico simple (MAS) es un movimiento oscilatorio y periódico en torno a una posición de equilibrio, producido por una fuerza recuperadora proporcional al desplazamiento y de sentido contrario a él:

F = -k\,x

Con la segunda ley de Newton,

m\,a = -k\,x

, es decir,

a = -\dfrac{k}{m}\,x

: la aceleración es proporcional a la elongación y siempre apunta hacia el equilibrio. También es un MAS la proyección sobre un diámetro de un movimiento circular uniforme.

Ejemplos.

Un cuerpo colgado de un muelle o unido a él sobre una mesa sin rozamiento (ley de Hooke), con $\omega = \sqrt{k/m}$ .
Un péndulo simple que oscila con amplitud pequeña (menos de unos $10^\circ$ ), con $\omega = \sqrt{g/L}$ .
La vibración de un diapasón, de los átomos de un sólido en torno a su posición de equilibrio o de cada punto de una cuerda por la que pasa una onda armónica.

Ecuación del movimiento.

x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0)

(también se puede escribir con coseno; solo cambia el valor de la fase inicial).

Magnitudes.

Elongación $x$ : posición respecto del equilibrio en cada instante (m).
Amplitud $A$ : elongación máxima; el cuerpo oscila entre $-A$ y $+A$ (m).
Pulsación o frecuencia angular $\omega$ (rad/s), con $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = 2\pi f$ .
Periodo $T$ : tiempo que tarda en hacer una oscilación completa (s). Frecuencia $f = 1/T$ : número de oscilaciones por segundo (Hz).
Fase $\omega t + \varphi_0$ (rad): fija el estado de vibración en cada instante. La fase inicial $\varphi_0$ indica dónde está y hacia dónde se mueve el cuerpo en $t = 0$ .

Velocidad. Es la derivada de la posición respecto del tiempo:

v(t) = \frac{dx}{dt} = A\,\omega\cos(\omega t + \varphi_0)

Es máxima,

v_\text{máx} = A\omega

, al pasar por el equilibrio y nula en los extremos. En función de la posición,

v = \pm\,\omega\sqrt{A^2 - x^2}

.

Aceleración. Derivando de nuevo:

a(t) = \frac{dv}{dt} = -A\,\omega^2\sin(\omega t + \varphi_0) = -\omega^2\,x

Es máxima en los extremos,

a_\text{máx} = A\omega^2

, y nula en el equilibrio; el signo menos dice que apunta siempre hacia la posición de equilibrio. Comparando con

a = -\frac{k}{m}x

resulta

\omega = \sqrt{k/m}

T = 2\pi\sqrt{m/k}

: el periodo de un MAS no depende de la amplitud.

Consejo

Usa el enunciado como lista de comprobación: definición, ejemplos, ecuación, magnitudes con sus unidades, velocidad y aceleración. Dejarse los ejemplos o las unidades resta puntos fáciles.

Escribe expresamente $a = -\omega^2 x$ y explica el signo menos: es la seña de identidad del MAS.