Problema resuelto de Física: Satélites, órbitas y leyes de KeplerSelectividad (PAU) · País Vasco 2021 · Junio

Datos en el SI. $R = 1{,}5\cdot 10^{7}\ \text{m}$ y $v = 9\cdot 10^{3}\ \text{m/s}$.

a) Periodo. En una vuelta el satélite recorre $2\pi R$ en un tiempo $T$:$$v = \frac{2\pi R}{T}\quad\Longrightarrow\quad T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi\cdot 1{,}5\cdot 10^{7}}{9\cdot 10^{3}} = 1{,}05\cdot 10^{4}\ \text{s}$$Es decir, $T \approx 10\,472\ \text{s}$, unas $2{,}9$ horas.

b) Masa del planeta. La fuerza gravitatoria hace de fuerza centrípeta:$$G\,\frac{M\,m}{R^2} = m\,\frac{v^2}{R}\quad\Longrightarrow\quad M = \frac{v^2\,R}{G}$$$$M = \frac{(9\cdot 10^{3})^2\cdot 1{,}5\cdot 10^{7}}{6{,}67\cdot 10^{-11}} = 1{,}82\cdot 10^{25}\ \text{kg}$$La masa del satélite se simplifica: no hace falta conocerla.

c) Periodo con el radio triplicado. Sustituyendo $v = 2\pi r/T$ en la condición de órbita se llega a la tercera ley de Kepler:$$G\,\frac{M}{r^2} = \frac{4\pi^2 r}{T^2}\quad\Longrightarrow\quad T^2 = \frac{4\pi^2}{G\,M}\,r^3$$Como el planeta es el mismo, el cociente entre las dos órbitas elimina $G$ y $M$:$$\frac{T'^2}{T^2} = \frac{(3R)^3}{R^3} = 27\quad\Longrightarrow\quad T' = \sqrt{27}\;T = 5{,}196\cdot 10\,472 = 5{,}44\cdot 10^{4}\ \text{s}$$Unas $15{,}1$ horas. (Con la fórmula completa, $T' = \sqrt{4\pi^2(3R)^3/(GM)}$, sale lo mismo.)

Comprobación. Al alejarse, el satélite va más despacio ($v' = v/\sqrt{3} = 5{,}2\ \text{km/s}$) y además tiene que recorrer una circunferencia tres veces mayor: por eso el periodo crece más que el radio, $3\sqrt{3} \approx 5{,}2$ veces.