Problema resuelto de Física: Movimiento de cargas: fuerza de LorentzSelectividad (PAU) · País Vasco 2021 · Julio

a) Fuerza sobre una carga. Una carga $q$ que se mueve con velocidad $\vec v$ en un campo magnético $\vec B$ sufre la fuerza de Lorentz:$$\vec F = q\,(\vec v\times\vec B),\qquad F = |q|\,v\,B\,\text{sen}\,\alpha$$donde $\alpha$ es el ángulo entre $\vec v$ y $\vec B$.

Características.

• Es perpendicular a la vez a $\vec v$ y a $\vec B$; su sentido lo da la regla de la mano derecha (sacacorchos) para $\vec v\times\vec B$, y se invierte si la carga es negativa.
• Es nula si la carga está en reposo o se mueve paralela al campo ($\alpha = 0^\circ$ o $180^\circ$), y máxima, $F = |q|vB$, si $\vec v\perp\vec B$.
• Como es siempre perpendicular a la velocidad, no realiza trabajo: no cambia el módulo de la velocidad ni la energía cinética, solo la dirección.
• Unidades: de ahí se define el tesla, $1\ \text{T} = 1\ \text{N}/(\text{C}\cdot\text{m/s})$.

Ejemplo: $\vec v\perp\vec B$. La fuerza tiene módulo constante $|q|vB$ y es siempre perpendicular a la velocidad: es una fuerza centrípeta, y la carga describe una circunferencia con movimiento uniforme en el plano perpendicular a $\vec B$:$$|q|\,v\,B = m\,\frac{v^2}{R}\quad\Longrightarrow\quad R = \frac{m\,v}{|q|\,B}$$$$T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2\pi m}{|q|\,B}\qquad \omega = \frac{|q|\,B}{m}$$El periodo no depende de la velocidad (en esto se basa el ciclotrón), y el radio depende de la relación $m/q$ (espectrógrafo de masas). Cargas de signo opuesto giran en sentidos opuestos. Si $\vec v$ tuviera además una componente paralela a $\vec B$, la trayectoria sería una hélice.

b) Fuerza sobre un conductor rectilíneo. Una corriente $I$ es un conjunto de cargas que se mueven con velocidad de arrastre $\vec v$. En un tramo de hilo de longitud $L$ y sección $S$, con $n$ portadores por unidad de volumen, hay $N = nSL$ cargas, y cada una sufre $q\,\vec v\times\vec B$. Sumando, y como $I = nqvS$:$$\vec F = N\,q\,(\vec v\times\vec B) = nSLq\,(\vec v\times\vec B) = I\,(\vec L\times\vec B)$$donde $\vec L$ es un vector de módulo la longitud del hilo y sentido el de la corriente. Su módulo es$$F = I\,L\,B\,\text{sen}\,\alpha$$con $\alpha$ el ángulo entre el hilo y el campo. Es nula si el hilo es paralelo a $\vec B$ y máxima ($F = ILB$) si es perpendicular; es perpendicular al hilo y al campo, con el sentido de la regla de la mano derecha.

Ejemplo. Un hilo de 0,2 m por el que circulan 5 A, perpendicular a un campo de 0,1 T, sufre $F = 5\cdot 0{,}2\cdot 0{,}1 = 0{,}1\ \text{N}$. Esta fuerza es la base de los motores eléctricos y de los galvanómetros.