Problema resuelto de Física: Ondas mecánicas: armónicas y estacionariasSelectividad (PAU) · País Vasco 2021 · Julio

a) Magnitudes de la onda. De la ecuación:$$\omega = 18\pi\ \text{rad/s}\ \Rightarrow\ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{1}{9}\ \text{s}\qquad k = 2\pi\ \text{rad/m}\ \Rightarrow\ \lambda = \frac{2\pi}{k} = 1\ \text{m}$$Velocidad de propagación.$$v = \frac{\lambda}{T} = \frac{\omega}{k} = \frac{18\pi}{2\pi} = 9\ \text{m/s}$$Como el signo de $kx$ es negativo frente a $\omega t$, la onda avanza en el sentido positivo del eje $x$.

b) Velocidad de vibración. Derivamos respecto de $t$:$$v_y(x,t) = \frac{\partial y}{\partial t} = 0{,}6\cdot 18\pi\,\cos(18\pi t - 2\pi x) = 10{,}8\pi\,\cos(18\pi t - 2\pi x)\ \ \text{m/s}$$En $x = 3\ \text{m}$ y $t = 8\ \text{s}$. La fase vale $18\pi\cdot 8 - 2\pi\cdot 3 = 144\pi - 6\pi = 138\pi$, un número par de veces $\pi$, así que $\cos(138\pi) = 1$:$$v_y(3, 8) = 10{,}8\pi = 33{,}9\ \text{m/s}$$Es justo la velocidad máxima de vibración: el punto pasa en ese instante por la posición de equilibrio moviéndose hacia arriba.

c) Aceleración de vibración. Derivamos otra vez:$$a_y(x,t) = \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} = -0{,}6\,(18\pi)^2\,\text{sen}(18\pi t - 2\pi x)$$Valor máximo. Se alcanza cuando el seno vale $\pm 1$, y es el mismo para todos los puntos de la onda:$$a_{\text{máx}} = A\,\omega^2 = 0{,}6\,(18\pi)^2 = 194{,}4\,\pi^2 = 1{,}92\cdot 10^{3}\ \text{m/s}^2$$