FísicaMedioProblema · 3 pts

Problema resuelto de Física: Campo y potencial eléctricoSelectividad (PAU) · País Vasco 2021 · Julio

Enunciado

Tres cargas,

q_1 = -4\ \text{nC}

q_2 = q_3 = 2\ \text{nC}

, se encuentran colocadas en tres de los vértices de un cuadrado de lado 60 cm (como se indica en la figura).

Ejes x e y en centímetros. La carga negativa q1 está en el origen (0, 0), la positiva q2 en (0, 60) y la positiva q3 en (60, 0); el punto A es el cuarto vértice del cuadrado, en (60, 60).

Calcula:

a) El campo electrostático (módulo, dirección y sentido) en el punto

A

(en el cuarto vértice).

b) El potencial electrostático (

V

) en el punto

A

.

c) El trabajo que hay que hacer para llevar una cuarta carga (

q_4 = 30\ \text{nC}

) desde el centro del cuadrado hasta el punto

A

.

Datos:

K = 9 \times 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}

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Resultado

\vec E_A = 14{,}6\,\vec\imath + 14{,}6\,\vec\jmath\ \text{N/C}

;

|\vec E_A| = 20{,}7\ \text{N/C}

, por la diagonal a 45°, alejándose de

q_1

.

b)

V_A = 17{,}6\ \text{V}

.

c)

V_C = 0

: el trabajo exterior es

W_{\text{ext}} = +5{,}27\cdot 10^{-7}\ \text{J}

(el del campo,

-5{,}27\cdot 10^{-7}\ \text{J}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Es un problema de superposición. En a) calculamos el campo que crea cada carga en

A

, lo escribimos con sus componentes (cuidado con el sentido: la carga negativa atrae hacia sí, las positivas repelen) y sumamos vectores. En b) el potencial es un escalar: basta sumar

Kq/r

de cada carga, con su signo. En c) necesitamos el potencial en el centro del cuadrado; como las tres cargas están a la misma distancia del centro y suman cero, ese potencial es nulo. El trabajo de la fuerza exterior es

q_4(V_A - V_C)

, y el del campo, el mismo con el signo cambiado.

Desarrollo

Tomamos el origen en

q_1

q_1(0, 0)

q_2(0;\ 0{,}6)

q_3(0{,}6;\ 0)

A(0{,}6;\ 0{,}6)

, en metros.

a) Distancias a $A$ .

q_2

q_3

están a un lado del cuadrado,

d_2 = d_3 = 0{,}6\ \text{m}

;

q_1

, a la diagonal:

d_1 = \sqrt{0{,}6^2 + 0{,}6^2} = \sqrt{0{,}72} = 0{,}849\ \text{m}

Módulos de cada campo.

E_1 = K\frac{|q_1|}{d_1^2} = 9\cdot 10^{9}\,\frac{4\cdot 10^{-9}}{0{,}72} = 50\ \text{N/C}\qquad E_2 = E_3 = 9\cdot 10^{9}\,\frac{2\cdot 10^{-9}}{0{,}36} = 50\ \text{N/C}

Direcciones y sentidos.

$q_1$ es negativa: su campo en $A$ apunta hacia ella, por la diagonal hacia el origen (dirección $-\vec\imath - \vec\jmath$ a 45°):

\vec E_1 = 50\left(-\tfrac{\sqrt2}{2}\,\vec\imath - \tfrac{\sqrt2}{2}\,\vec\jmath\right) = -35{,}36\,\vec\imath - 35{,}36\,\vec\jmath\ \ \text{N/C}

$q_2$ es positiva y está a la izquierda de $A$ : su campo apunta hacia la derecha, $\vec E_2 = 50\,\vec\imath\ \text{N/C}$ .
$q_3$ es positiva y está debajo de $A$ : su campo apunta hacia arriba, $\vec E_3 = 50\,\vec\jmath\ \text{N/C}$ .

Suma.

\vec E_A = \vec E_1 + \vec E_2 + \vec E_3 = 14{,}64\,\vec\imath + 14{,}64\,\vec\jmath\ \ \text{N/C}

|\vec E_A| = \sqrt{14{,}64^2 + 14{,}64^2} = 20{,}7\ \text{N/C}

Dirección: la diagonal del cuadrado que pasa por

q_1

A

(45° con el eje

x

); sentido: alejándose de

q_1

, hacia fuera del cuadrado.

b) Potencial en $A$ . Sumamos los potenciales con su signo:

V_A = K\left(\frac{q_1}{d_1} + \frac{q_2}{d_2} + \frac{q_3}{d_3}\right) = 9\cdot 10^{9}\left(\frac{-4\cdot 10^{-9}}{0{,}849} + \frac{2\cdot 10^{-9}}{0{,}6} + \frac{2\cdot 10^{-9}}{0{,}6}\right)

V_A = 9\,(-4{,}714 + 6{,}667) = 17{,}6\ \text{V}

c) Potencial en el centro $C(0{,}3;\ 0{,}3)$ . Las tres cargas están a la misma distancia del centro, media diagonal,

d = \sqrt{0{,}18} = 0{,}424\ \text{m}

V_C = \frac{K}{d}\,(q_1 + q_2 + q_3) = \frac{K}{d}\,(-4 + 2 + 2)\cdot 10^{-9} = 0

Trabajo. El trabajo que hace el campo al llevar

q_4

C

A

W_{\text{campo}} = q_4\,(V_C - V_A) = 30\cdot 10^{-9}\,(0 - 17{,}57) = -5{,}27\cdot 10^{-7}\ \text{J}

y el que hay que hacer (fuerza exterior, llevándola sin cambiar su energía cinética) es el opuesto:

W_{\text{ext}} = q_4\,(V_A - V_C) = +5{,}27\cdot 10^{-7}\ \text{J}

Interpretación. Una carga positiva tiende a ir hacia potenciales menores; aquí la llevamos de 0 V a 17,6 V, en contra del campo, así que el campo hace trabajo negativo y nosotros tenemos que aportar

5{,}27\cdot 10^{-7}\ \text{J}

, que quedan como energía potencial de

q_4

Consejo

Dibuja los tres vectores en $A$ antes de calcular: el campo de una carga negativa apunta hacia ella. Con el esquema delante, las componentes y los signos salen solos.

En el trabajo, di siempre quién lo hace: el del campo es $q(V_{\text{inicial}} - V_{\text{final}})$ y el de la fuerza exterior, el mismo con el signo cambiado. El corrector valora que lo expliques, no solo el número.