FísicaMedio2 pts

Radiactividad y desintegración

Comunidad de Madrid · 2021 · Junio (coincidentes)

Enunciado

El isótopo radiactivo

^{226}\text{Ra}

emite una partícula

\alpha

en cada proceso de desintegración. El periodo de semidesintegración de este isótopo del radio es de

1590

años.

a) Calcule su vida media y en qué porcentaje se reducirá la actividad de una cierta masa en este periodo de tiempo.

b) Si cada partícula

\alpha

emitida tiene una energía de

3\,\text{MeV}

, calcule la energía que recibirá una persona por situarse al lado de una muestra radiactiva de

^{226}\text{Ra}

1\,\text{mg}

durante diez años. Suponga que todas las partículas emitidas inciden sobre la persona por estar situada excesivamente cerca de la muestra.

Datos: Número de Avogadro,

N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\,\text{mol}^{-1}

; Valor absoluto de la carga del electrón,

e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text{C}

; Masa atómica del

^{226}\text{Ra}

M_{\text{Ra}} = 226\,\text{u}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\tau = 2294\ \text{años}\qquad \text{la actividad se reduce un } 63{,}2\,\%\;}

\boxed{\;E = 5{,}56\cdot 10^{3}\ \text{J}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) la constante de desintegración sale del periodo,

\lambda = \ln 2/T_{1/2}

, y la vida media es su inversa,

\tau = 1/\lambda

. «Este periodo de tiempo» es la vida media: al cabo de

\tau

la actividad,

A = A_0 e^{-\lambda t}

, queda en

A_0/e

.

En b) cada desintegración es una partícula

\alpha

3\,\text{MeV}

. Hay que contar los núcleos que se desintegran en diez años: los iniciales (de la masa, con el número de Avogadro) menos los que quedan. Como diez años es poquísimo frente a

1590

, se puede trabajar en años sin pasar a segundos, pero hay que restar con cuidado (o usar

N_0(1 - e^{-\lambda t})

directamente).

Desarrollo

a) Constante de desintegración y vida media:

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}} = \frac{0{,}693}{1590} = 4{,}36\cdot 10^{-4}\ \text{años}^{-1}\qquad \tau = \frac{1}{\lambda} = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} = 2294\ \text{años}

Actividad al cabo de una vida media:

A(\tau) = A_0\,e^{-\lambda\tau} = A_0\,e^{-1} = 0{,}368\,A_0

La actividad se reduce en

1 - 0{,}368 = 0{,}632

, es decir, un

63{,}2\,\%

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Núcleos iniciales en

1\,\text{mg}

de radio-226 (

226\,\text{g}\,\text{mol}^{-1}

N_0 = \frac{1\cdot 10^{-3}}{226}\cdot 6{,}02\cdot 10^{23} = 2{,}66\cdot 10^{18}\ \text{núcleos}

Núcleos desintegrados en

t = 10

años:

\Delta N = N_0\left(1 - e^{-\lambda t}\right) = 2{,}66\cdot 10^{18}\left(1 - e^{-4{,}36\cdot 10^{-3}}\right) = 2{,}66\cdot 10^{18}\cdot 4{,}35\cdot 10^{-3} = 1{,}16\cdot 10^{16}

Solo se desintegra un

0{,}4\,\%

de la muestra. Cada desintegración emite una

\alpha

3\,\text{MeV} = 3\cdot 10^{6}\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19} = 4{,}8\cdot 10^{-13}\,\text{J}

, así que la energía recibida es

E = \Delta N\cdot E_\alpha = 1{,}16\cdot 10^{16}\cdot 4{,}8\cdot 10^{-13} = 5{,}56\cdot 10^{3}\ \text{J}

(en electronvoltios,

1{,}16\cdot 10^{16}\cdot 3\cdot 10^{6} = 3{,}48\cdot 10^{22}\,\text{eV}

Consejo

No confundas el periodo de semidesintegración (la actividad cae a la mitad) con la vida media (cae a $1/e$ , un $36{,}8\,\%$ ). La vida media es siempre mayor: $\tau = T_{1/2}/\ln 2 \approx 1{,}44\,T_{1/2}$ .

Cuando $\lambda t$ es muy pequeño, restar $N_0 - N$ con números redondeados a tres cifras se come el resultado (se restan dos cantidades casi iguales). Usa $N_0(1 - e^{-\lambda t})$ , o su aproximación $N_0\lambda t$ , que aquí da prácticamente lo mismo.