FísicaDifícil2 pts

Ondas mecánicas: armónicas y estacionarias

Comunidad de Madrid · 2021 · Junio (coincidentes)

Enunciado

Una fuente sonora tiene una potencia de

8\,\mu\text{W}

. Si nos situamos en un punto P, a una cierta distancia de dicha fuente, detectamos un nivel de intensidad sonora de

20\,\text{dB}

. Calcule:

a) El número mínimo de fuentes similares a la original que necesitaríamos situar en el mismo punto que la primera fuente, para que sin movernos detectásemos un nivel de intensidad sonora doble al anterior.

b) La distancia que debemos alejarnos del punto P si queremos dejar de oír las fuentes.

Dato: Valor umbral de la intensidad acústica,

I_0 = 10^{-12}\,\text{W}\,\text{m}^{-2}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;n = 100\ \text{fuentes}\;}

\boxed{\;\Delta r \approx 7{,}90\cdot 10^{3}\ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Dos ideas: el nivel en decibelios es

\beta = 10\log(I/I_0)

, y una fuente puntual reparte su potencia en esferas,

I = \dfrac{P}{4\pi r^2}

.

En a) «doble nivel» significa

40\,\text{dB}

, no el doble de intensidad. Pasando los dos niveles a intensidades se ve cuántas veces más intensidad hace falta; como las fuentes (incoherentes) suman sus intensidades, ese es el número de fuentes.

En b) se deja de oír cuando la intensidad baja al umbral

I_0

(nivel

0\,\text{dB}

). Con la potencia de todas las fuentes se calcula a qué distancia ocurre, y se le resta la distancia a la que ya estábamos.

Desarrollo

a) Intensidad en P con una fuente (

\beta_1 = 20\,\text{dB}

I_1 = I_0\,10^{\beta_1/10} = 10^{-12}\cdot 10^{2} = 10^{-10}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}

Distancia de P a la fuente, con

P = 8\cdot 10^{-6}\,\text{W}

r_1 = \sqrt{\frac{P}{4\pi I_1}} = \sqrt{\frac{8\cdot 10^{-6}}{4\pi\cdot 10^{-10}}} = 79{,}8\ \text{m}

Para un nivel doble,

\beta_2 = 40\,\text{dB}

I_2 = I_0\,10^{\beta_2/10} = 10^{-12}\cdot 10^{4} = 10^{-8}\ \text{W}\,\text{m}^{-2}

Con

n

fuentes iguales en el mismo punto, la intensidad en P es

n I_1

n = \frac{I_2}{I_1} = \frac{10^{-8}}{10^{-10}} = 100

Hacen falta

100

fuentes en total (la original y

99

más), con una potencia conjunta de

100\cdot 8\,\mu\text{W} = 8\cdot 10^{-4}\,\text{W}

.

b) Con las

100

fuentes, se deja de oír donde la intensidad es

I_0

r_f = \sqrt{\frac{P_{\text{total}}}{4\pi I_0}} = \sqrt{\frac{8\cdot 10^{-4}}{4\pi\cdot 10^{-12}}} = 7{,}98\cdot 10^{3}\ \text{m}

Distancia que hay que alejarse desde P:

\Delta r = r_f - r_1 = 7979 - 79{,}8 = 7{,}90\cdot 10^{3}\ \text{m}

Unos

7{,}9\,\text{km}

. (Si solo sonara la fuente original, bastaría con llegar a

798\,\text{m}

de ella: alejarse

718\,\text{m}

Consejo

Los decibelios son logarítmicos: doblar el nivel (de 20 a 40 dB) es multiplicar la intensidad por 100, y cada $10\,\text{dB}$ más es multiplicar por 10. Lo que se suma entre fuentes son las intensidades, nunca los decibelios.

Si redondeas $I_1$ o la distancia antes de tiempo, te puede salir $n = 101$ . Aquí no hace falta redondear nada: el cociente $I_2/I_1$ es exacto.