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Satélites, órbitas y leyes de Kepler

Comunidad de Madrid · 2021 · Junio (coincidentes)
Enunciado
Michael Mayor y Didier Queloz son dos planetólogos suizos, que en 2019 recibieron el premio Nobel de Física por descubrir el primer exoplaneta que orbitaba en torno a una estrella similar al Sol. Este exoplaneta, 51 Pegasus b, tiene una masa 51 veces mayor que Júpiter, y describe una órbita de radio 100 veces menor que la de Júpiter. Sabiendo que el periodo de revolución de Júpiter es de 12 años, mientras que el de 51 Pegasus b es de 4 días, y considerando ambas órbitas como circulares, calcule:

a) La masa de la estrella en torno a la que orbita el exoplaneta 51 Pegasus b.

b) La energía mecánica de 51 Pegasus b.

Datos: Constante de Gravitación Universal, G=6,67⋅10−11 N m2 kg−2G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{kg}^{-2}; Masa del Sol, MS=1,99⋅1030 kgM_S = 1{,}99\cdot 10^{30}\,\text{kg}; Masa de Júpiter, MJ=1,90⋅1027 kgM_J = 1{,}90\cdot 10^{27}\,\text{kg}.
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Resultado
  M∗=2,39⋅1030 kg  (≈1,2 MS)  \boxed{\;M_\ast = 2{,}39\cdot 10^{30}\ \text{kg}\ \ (\approx 1{,}2\,M_S)\;}  Em=−9,84⋅1038 J  \boxed{\;E_m = -9{,}84\cdot 10^{38}\ \text{J}\;}
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Estrategia

Hay dos sistemas: Júpiter alrededor del Sol y 51 Pegasus b alrededor de su estrella. En una órbita circular, igualar la gravedad a la fuerza centrípeta da la tercera ley de Kepler con la masa del astro central:T2=4π2GM r3T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}\,r^3En a) se usa primero con Júpiter (masa central, el Sol) para sacar el radio de su órbita; el del exoplaneta es 100 veces menor, y con él y su periodo, la misma ley da la masa de la estrella. Hay que pasar los periodos a segundos (12 años son 12⋅365=438012\cdot 365 = 4380 días).

En b) la energía mecánica en órbita circular es Em=−GMm2rE_m = -\dfrac{GMm}{2r}, con la masa de la estrella, la del planeta (51 MJ51\,M_J) y su radio orbital.
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Desarrollo

a) Periodos en segundos:TJ=12⋅365⋅86 400=3,78⋅108 sTP=4⋅86 400=3,456⋅105 sT_J = 12\cdot 365\cdot 86\,400 = 3{,}78\cdot 10^{8}\ \text{s}\qquad T_P = 4\cdot 86\,400 = 3{,}456\cdot 10^{5}\ \text{s}Radio de la órbita de Júpiter, con la tercera ley de Kepler y la masa del Sol:rJ=GMSTJ24π23=6,67⋅10−11⋅1,99⋅1030⋅(3,78⋅108)24π23=7,84⋅1011 mr_J = \sqrt[3]{\frac{GM_S T_J^2}{4\pi^2}} = \sqrt[3]{\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 1{,}99\cdot 10^{30}\cdot\left(3{,}78\cdot 10^{8}\right)^2}{4\pi^2}} = 7{,}84\cdot 10^{11}\ \text{m}Radio de la órbita del exoplaneta:rP=rJ100=7,84⋅109 mr_P = \frac{r_J}{100} = 7{,}84\cdot 10^{9}\ \text{m}Masa de la estrella, despejándola de la misma ley:M∗=4π2rP3G TP2=4π2(7,84⋅109)36,67⋅10−11(3,456⋅105)2=2,39⋅1030 kgM_\ast = \frac{4\pi^2 r_P^3}{G\,T_P^2} = \frac{4\pi^2\left(7{,}84\cdot 10^{9}\right)^3}{6{,}67\cdot 10^{-11}\left(3{,}456\cdot 10^{5}\right)^2} = 2{,}39\cdot 10^{30}\ \text{kg}Se puede comprobar sin calcular rJr_J: dividiendo las dos leyes de Kepler, M∗=MS (rP/rJ)3(TP/TJ)2=MS 10−6(4/4380)2=1,199 MSM_\ast = M_S\,\dfrac{(r_P/r_J)^3}{(T_P/T_J)^2} = M_S\,\dfrac{10^{-6}}{(4/4380)^2} = 1{,}199\,M_S. La estrella tiene un 20 % más de masa que el Sol: «similar al Sol», como dice el enunciado.

b) Masa del exoplaneta: mP=51⋅1,90⋅1027=9,69⋅1028 kgm_P = 51\cdot 1{,}90\cdot 10^{27} = 9{,}69\cdot 10^{28}\,\text{kg}. En órbita circular, Ec=GM∗mP2rPE_c = \dfrac{GM_\ast m_P}{2r_P} y Ep=−GM∗mPrPE_p = -\dfrac{GM_\ast m_P}{r_P}, así queEm=−GM∗mP2rP=−6,67⋅10−11⋅2,39⋅1030⋅9,69⋅10282⋅7,84⋅109=−9,84⋅1038 JE_m = -\frac{GM_\ast m_P}{2r_P} = -\frac{6{,}67\cdot 10^{-11}\cdot 2{,}39\cdot 10^{30}\cdot 9{,}69\cdot 10^{28}}{2\cdot 7{,}84\cdot 10^{9}} = -9{,}84\cdot 10^{38}\ \text{J}Negativa, como corresponde a un planeta ligado a su estrella.
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Consejo

La tercera ley de Kepler relaciona órbitas alrededor del mismo astro. Para comparar planetas de estrellas distintas hay que escribirla con la masa central, T2=4π2GMr3T^2 = \frac{4\pi^2}{GM}r^3; dividiendo las dos ecuaciones, GG y 4π24\pi^2 se van y el cálculo es mucho más limpio.

Cuidado con los periodos: en el cociente basta con que estén en la misma unidad (días), pero al sustituir GG hay que pasarlos a segundos.
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