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Efecto fotoeléctrico y cuantización

También trata: Dualidad onda-corpúsculo e incertidumbre

Comunidad de Madrid · 2021 · Junio (coincidentes)

Enunciado

Se ilumina un material con luz visible de longitud de onda

500\,\text{nm}

. Sabiendo que el trabajo de extracción para el efecto fotoeléctrico de dicho material es

1{,}8\,\text{eV}

, determine:

a) La energía cinética máxima de los electrones y la longitud de onda de corte para el efecto fotoeléctrico de este material.

b) La longitud de onda de de Broglie de los electrones emitidos con la máxima energía cinética.

Datos: Valor absoluto de la carga del electrón,

e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text{C}

; Masa del electrón,

m_e = 9{,}1\cdot 10^{-31}\,\text{kg}

; Constante de Planck,

h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\,\text{J}\,\text{s}

; Velocidad de la luz en el vacío,

c = 3\cdot 10^{8}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;E_{c,\text{máx}} = 1{,}10\cdot 10^{-19}\ \text{J} = 0{,}69\ \text{eV}\qquad \lambda_0 = 6{,}91\cdot 10^{-7}\ \text{m}\;}

\boxed{\;\lambda_{dB} = 1{,}48\cdot 10^{-9}\ \text{m}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En a) se aplica la ecuación de Einstein del efecto fotoeléctrico: cada fotón da toda su energía,

hc/\lambda

, a un electrón; una parte se gasta en arrancarlo (el trabajo de extracción

W_0

) y el resto queda como energía cinética máxima. La longitud de onda de corte es la del fotón que trae justo

W_0

: con longitudes de onda mayores no hay emisión.

En b) la energía cinética da el momento lineal del electrón,

p = \sqrt{2m_eE_c}

(no es relativista:

E_c

es de décimas de eV), y la relación de de Broglie,

\lambda = h/p

, su longitud de onda.

Trabaja en julios y pasa a electronvoltios solo para comparar:

1\,\text{eV} = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text{J}

Desarrollo

a) Energía de cada fotón:

E_f = \frac{hc}{\lambda} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}}{500\cdot 10^{-9}} = 3{,}98\cdot 10^{-19}\ \text{J} = 2{,}49\ \text{eV}

Trabajo de extracción en julios:

W_0 = 1{,}8\cdot 1{,}6\cdot 10^{-19} = 2{,}88\cdot 10^{-19}\,\text{J}

. Energía cinética máxima de los electrones:

E_{c,\text{máx}} = E_f - W_0 = 3{,}98\cdot 10^{-19} - 2{,}88\cdot 10^{-19} = 1{,}10\cdot 10^{-19}\ \text{J} = 0{,}69\ \text{eV}

Longitud de onda de corte, la de un fotón con energía igual a

W_0

\lambda_0 = \frac{hc}{W_0} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}}{2{,}88\cdot 10^{-19}} = 6{,}91\cdot 10^{-7}\ \text{m} = 691\ \text{nm}

Como

500\,\text{nm} < 691\,\text{nm}

, la luz usada sí arranca electrones, como debe ser.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Momento lineal de los electrones más rápidos:

p = \sqrt{2m_eE_{c,\text{máx}}} = \sqrt{2\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot 1{,}10\cdot 10^{-19}} = 4{,}47\cdot 10^{-25}\ \text{kg}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

(su velocidad es

v = p/m_e = 4{,}91\cdot 10^{5}\,\text{m}\,\text{s}^{-1}

, muy lejos de

c

). Longitud de onda de de Broglie:

\lambda_{dB} = \frac{h}{p} = \frac{6{,}63\cdot 10^{-34}}{4{,}47\cdot 10^{-25}} = 1{,}48\cdot 10^{-9}\ \text{m}

Es unas 300 veces menor que la de la luz que los arranca: del orden del nanómetro, comparable a las distancias entre átomos.

Consejo

No mezcles unidades en la ecuación de Einstein: o todo en julios o todo en electronvoltios. Lo más seguro es calcular en julios y dar además el valor en eV, que es como se suele razonar.

Para de Broglie usa $p = \sqrt{2mE_c}$ directamente: te ahorras calcular la velocidad y redondear dos veces.