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Óptica geométrica: lentes y espejos

Comunidad de Madrid · 2021 · Junio (coincidentes)

Enunciado

Un sistema óptico está formado por dos lentes convergentes A y B de distancias focales

4\,\text{cm}

7\,\text{cm}

respectivamente. La lente B está situada

25\,\text{cm}

a la derecha de A. Situamos un objeto de tamaño

2\,\text{mm}

a una distancia de

5\,\text{cm}

a la izquierda de la lente A.

a) Calcule el tamaño y la posición de la imagen final.

b) Realice el correspondiente trazado de rayos de la formación de la imagen.

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;s'_B = -17{,}5\ \text{cm}\ \ \text{(17,5 cm a la izquierda de B, o 7,5 cm a la derecha de A)}\;}

\boxed{\;y' = -28\ \text{mm}\ \ \text{(virtual, invertida y 14 veces mayor)}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

En un sistema de dos lentes se va lente a lente: la imagen que da A hace de objeto para B. Para cada lente se usan la ecuación de las lentes delgadas,

\dfrac{1}{s'} - \dfrac{1}{s} = \dfrac{1}{f'}

, y el aumento lateral,

M = \dfrac{y'}{y} = \dfrac{s'}{s}

, con el origen en la propia lente y el convenio de signos (positivo hacia la derecha y hacia arriba).

La única trampa es el cambio de origen: la posición de la imagen de A medida desde A hay que pasarla a una posición medida desde B, restando la separación entre lentes.

Desarrollo

a) Lente A (

f'_A = 4\,\text{cm}

s_A = -5\,\text{cm}

y_A = 2\,\text{mm}

\frac{1}{s'_A} = \frac{1}{f'_A} + \frac{1}{s_A} = \frac{1}{4} - \frac{1}{5} = \frac{1}{20}\ \text{cm}^{-1}\quad\Longrightarrow\quad s'_A = 20\ \text{cm}

y'_A = y_A\,\frac{s'_A}{s_A} = 2\cdot\frac{20}{-5} = -8\ \text{mm}

El objeto está entre

f'

2f'

, así que A da una imagen real, invertida y cuatro veces mayor,

20\,\text{cm}

a su derecha.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

Lente B (

f'_B = 7\,\text{cm}

). La imagen de A está a

20\,\text{cm}

de A y la lente B a

25\,\text{cm}

, así que queda

5\,\text{cm}

a la izquierda de B:

s_B = 20 - 25 = -5\,\text{cm}

, con

y_B = -8\,\text{mm}

\frac{1}{s'_B} = \frac{1}{f'_B} + \frac{1}{s_B} = \frac{1}{7} - \frac{1}{5} = -\frac{2}{35}\ \text{cm}^{-1}\quad\Longrightarrow\quad s'_B = -17{,}5\ \text{cm}

y'_B = y_B\,\frac{s'_B}{s_B} = -8\cdot\frac{-17{,}5}{-5} = -28\ \text{mm}

Ahora el objeto está entre B y su foco, así que B actúa como una lupa: da una imagen virtual, derecha respecto de su objeto y

3{,}5

veces mayor. Como su objeto ya estaba invertido, la imagen final queda invertida respecto del objeto original.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

(En la simulación el objeto de B se dibuja derecho; en el sistema real es la imagen invertida que da A.)

La imagen final está

17{,}5\,\text{cm}

a la izquierda de B, es decir,

25 - 17{,}5 = 7{,}5\,\text{cm}

a la derecha de A. Es virtual, invertida y

28/2 = 14

veces mayor que el objeto (

M = M_A M_B = (-4)(3{,}5) = -14

).

b) Trazado de rayos, lente a lente:

Lente A. Desde el extremo del objeto salen dos rayos: uno paralelo al eje, que tras A pasa por su foco imagen ( $4\,\text{cm}$ a la derecha de A), y otro por el centro de A, que no se desvía. Se cortan $20\,\text{cm}$ a la derecha de A, $8\,\text{mm}$ por debajo del eje: es la imagen real intermedia.
Lente B. Desde esa imagen intermedia, un rayo paralelo al eje que tras B pasa por su foco imagen ( $7\,\text{cm}$ a la derecha de B) y otro por el centro de B, sin desviarse. Al otro lado de B estos dos rayos divergen: no se cortan. Se cortan sus prolongaciones hacia atrás (en trazo discontinuo), $17{,}5\,\text{cm}$ a la izquierda de B y $28\,\text{mm}$ por debajo del eje: es la imagen final, virtual.

Consejo

El fallo típico en dos lentes es usar $s_B = 25\,\text{cm}$ o $s_B = +5\,\text{cm}$ . Dibuja dónde cae la imagen de A respecto de B: si está a la izquierda de B, $s_B$ es negativo.

Para describir la imagen final, mira el aumento total ( $M_A\cdot M_B$ ), no el de la última lente: B la deja derecha respecto de su objeto, pero el objeto de B ya venía invertido.