FísicaMedio2 pts

Campo y potencial eléctrico

Comunidad de Madrid · 2021 · Junio (coincidentes)

Enunciado

En los vértices de un cuadrado de lado

2\,\text{m}

y centrado en el origen de coordenadas se sitúan cuatro cargas eléctricas, tal y como se muestra en la figura.

Cuadrado de 2 m de lado centrado en el origen, con los lados paralelos a los ejes x e y. Arriba a la izquierda, q1 = 5 nC; arriba a la derecha, q2 = 5 nC; abajo a la derecha, q3 = 3 nC; abajo a la izquierda, q4 = 3 nC

a) Obtenga el campo eléctrico creado por las cargas en el centro del cuadrado.

b) Si desde el centro del cuadrado se lanza un electrón con una velocidad

\vec v = 3\cdot 10^{4}\,\vec j\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

, calcule el módulo de la velocidad que llevará el electrón en el instante en el que salga del cuadrado por el punto medio del lado superior.

Datos: Constante de la ley de Coulomb,

K = 9\cdot 10^{9}\,\text{N}\,\text{m}^2\,\text{C}^{-2}

; Valor absoluto de la carga del electrón,

e = 1{,}6\cdot 10^{-19}\,\text{C}

; Masa del electrón,

m_e = 9{,}1\cdot 10^{-31}\,\text{kg}

Comprobar el resultadocompara con lo que te ha salido

Resultado

\boxed{\;\vec E(0,0) = -9\sqrt 2\,\vec j \approx -12{,}7\,\vec j\ \ \text{N}\,\text{C}^{-1}\;}

\boxed{\;v_P = 2{,}08\cdot 10^{6}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}\;}

Ver la solución paso a pasoestrategia, desarrollo y consejo

Estrategia

Coloca las cargas con coordenadas:

q_1 = 5\,\text{nC}

(-1,\,1)

q_2 = 5\,\text{nC}

(1,\,1)

q_3 = 3\,\text{nC}

(1,\,-1)

q_4 = 3\,\text{nC}

(-1,\,-1)

, en metros. Todas son positivas.

En a) se suman los cuatro campos. La simetría ahorra trabajo: las componentes

x

se anulan por parejas (las dos de arriba son iguales y simétricas, y las dos de abajo también), así que solo hay que sumar las componentes

y

. Las de arriba empujan hacia abajo y las de abajo hacia arriba, y ganan las de arriba porque son mayores.

En b) el campo es conservativo: en lugar de seguir la trayectoria, se usa la conservación de la energía entre el centro y el punto

(0,\,1)

. Para eso hace falta el potencial en los dos puntos, y recordar que la energía potencial del electrón es

E_p = -eV

Desarrollo

a) Las cuatro cargas están a la misma distancia del centro, la semidiagonal:

d = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt 2\ \text{m}\qquad d^2 = 2\ \text{m}^2

Módulos de los campos en el centro:

E_1 = E_2 = \frac{K q_1}{d^2} = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 5\cdot 10^{-9}}{2} = 22{,}5\ \text{N}\,\text{C}^{-1}\qquad E_3 = E_4 = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 3\cdot 10^{-9}}{2} = 13{,}5\ \text{N}\,\text{C}^{-1}

Cada campo apunta desde su carga hacia el centro y más allá (cargas positivas), a

45^\circ

de los ejes. Las componentes

x

se cancelan por simetría; las de

y

valen

E\cos 45^\circ

: hacia abajo las de

q_1

q_2

, hacia arriba las de

q_3

q_4

\vec E = \left(2\cdot 13{,}5 - 2\cdot 22{,}5\right)\frac{\sqrt 2}{2}\,\vec j = -9\sqrt 2\,\vec j = -12{,}7\,\vec j\ \ \text{N}\,\text{C}^{-1}

El campo en el centro apunta hacia abajo, hacia el lado de las cargas menores.

Simulación interactivaVisualiza este problema en una simulación (se abre en una nueva pestaña)

b) Potencial en el centro

O(0,\,0)

, con las cuatro cargas a

\sqrt 2\,\text{m}

V_O = \frac{K\,(q_1 + q_2 + q_3 + q_4)}{\sqrt 2} = \frac{9\cdot 10^{9}\cdot 16\cdot 10^{-9}}{\sqrt 2} = 101{,}8\ \text{V}

Potencial en el punto medio del lado superior,

P(0,\,1)

q_1

q_2

están a

1\,\text{m}

, y

q_3

q_4

\sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt 5\,\text{m}

V_P = \frac{K\,(q_1 + q_2)}{1} + \frac{K\,(q_3 + q_4)}{\sqrt 5} = 90 + \frac{54}{\sqrt 5} = 90 + 24{,}15 = 114{,}1\ \text{V}

Conservación de la energía del electrón (carga

-e

) entre

O

P

\frac{1}{2}m_e v_O^2 + (-e)V_O = \frac{1}{2}m_e v_P^2 + (-e)V_P\quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2}m_e v_P^2 = \frac{1}{2}m_e v_O^2 + e\,(V_P - V_O)

Los dos términos:

\frac{1}{2}m_e v_O^2 = \frac{1}{2}\cdot 9{,}1\cdot 10^{-31}\cdot\left(3\cdot 10^{4}\right)^2 = 4{,}10\cdot 10^{-22}\ \text{J}

e\,(V_P - V_O) = 1{,}6\cdot 10^{-19}\cdot 12{,}33 = 1{,}97\cdot 10^{-18}\ \text{J}

El electrón va hacia potenciales mayores, así que el campo lo acelera; la energía cinética inicial es despreciable frente a la que gana. Velocidad al salir:

v_P = \sqrt{\frac{2\left(4{,}10\cdot 10^{-22} + 1{,}97\cdot 10^{-18}\right)}{9{,}1\cdot 10^{-31}}} = 2{,}08\cdot 10^{6}\ \text{m}\,\text{s}^{-1}

Consejo

Antes de sumar campos, busca la simetría: aquí ahorra la mitad de las cuentas. Pero haz siempre el dibujo de los cuatro vectores, porque es lo que justifica que las componentes $x$ se anulan.

Con cargas negativas, la conservación de la energía es fácil de liar: escribe $E_p = qV$ con $q = -e$ y deja que los signos trabajen. Una comprobación rápida: una carga negativa se acelera cuando va hacia potenciales mayores.